Keplerovy zákony

Mechanika ⇒ Gravitační pole ⇒ Pohyby těles v gravitačním poli Slunce
Teorie:

Kepler Zabývejme se nyní pohyby těles v gravitačním poli Slunce.

Gravitační pole Slunce je mnohonásobně silnější než gravitační pole Země. Slunce působí na všechna tělesa sluneční soustavy poměrně velkými gravitačními silami. Gravitační pole Slunce je pole centrální, pohybuje se v něm mnoho různých těles, z nichž nejznámější jsou planety a komety. Podle geocentrického názoru byla středem vesmíru Země, kolem níž se pohybují Měsíc, Slunce, planety i hvězdy. Pohyby planet byly vysvětlovány velmi složitě. S heliocentrickým názorem vystoupil v 16. století polský hvězdář Mikuláš Koperník, který za střed vesmíru pokládal Slunce, kolem něhož obíhá Země a ostatní planety. Jeho představy byly velmi zjednodušené a neodpovídaly skutečnosti. Na tehdejší dobu byly ovšem převratné. Navázali na ně astronomové Tycho Brahe a Johannes Kepler.

http://www.malaspina...

Tycho Brahe byl v roce 1599 pozván Rudolfem II. do Prahy, kde působil jako císařský astrolog. V Benátkách nad Jizerou a později v Praze postavil novou observatoř, kde mu několik posledních měsíců života dělal asistenta Johannes Kepler. Brahe zemřel podle pověstí na protržení močového měchýře ze společenských důvodů, které mu nedovolily vstát od stolu dříve než císař. Během poslední čtvrtiny šestnáctého století pořídil Tycho Brahe přesné pozorování planet za časové období 20 roků. Doufal, že se mu za pomoci těchto dat podaří ověřit jeho vlastní model sluneční soustavy, ve kterém Slunce obíhalo Zemi a ostatní planety obíhaly Slunce.
Kepler byl německým matematikem, astronomem a astrologem. Do Prahy přišel v roce 1600, kde několik let působil na dvoře Rudolfa II. a kde zformuloval dva ze svých tří zákonů. V pozdějším věku trpěl krátkozrakostí a hvězdy údajně už neviděl.

Po Braheho smrti v roce 1601 zdědil data, která Brahe nasbíral, jeho asistent Johannes Kepler. Kepler strávil téměř 20 let analýzou těchto dat a hledáním matematické zákonitosti. Přišel k závěru, že myšlenka oběhu planet po ideální kruhové dráze by měla být odstraněna a kružnice nahrazeny elipsami.
Kepler shrnul svůj výzkum pohybu planet v následujících třech zákonech:
  1. Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.

    Do jaké míry se liší eliptická trajektorie od kružnice vyjadřuje veličina zvaná číselná výstřednost. Pro elipsu se středem S, ohniskem F, které udává polohu Slunce, a s hlavní poloosou a je číselná výstřednost definovaná vztahem vzorec1. Výstřednost Země je 0,0167, Venuše 0,0068, Jupitera 0,0483. Největší výstřednost má Pluto 0,247, které podle nově přijaté definice planety už není planetou.

  2. Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní

    Průvodič planety je úsečka spojující střed planety se středem Slunce. Při pohybu planety se délka a směr průvodiče neustále mění, ale obsahy ploch, které průvodič opíše za stejné doby, jsou stejné. Nejkratší průvodič má planeta v perihéliu ( vrchol elipsy nejblíže ke Slunci), nejdelší v aféliu (vrchol nejdále od Slunce). Země prochází perihéliem v lednu, aféliem v červenci. Proto je na severní polokouli zimní půlrok kratší (179 dní) než půlrok letní (186 dní).

  3. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií

    vzorec2

    Zákon platí za předpokladu, že hmotnosti planet jsou zanedbatelně malé vzhledem k hmotnosti Slunce, což je u všech planet Sluneční soustavy splněno.
Pro znalce vyšší fyziky:

Pro popis otáčivého pohybu se zavádí pojem moment hybnosti (analogicky pro popis posuvného pohybu se zavádí pojem hybnosti). Je to vektorová veličina, definovaná vztahem

vzorec3,

kde vzorec4 je polohový vektor částice vzhledem k bodu, kde určujeme moment hybnosti, a vzorec5 je hybnost částice. Směr momentu hybnosti určíme pravidlem pravé ruky pro vektorový součin.



Studujte  za různých počátečních podmínek:  




Your browser can't run 1.0 Java applets, so here's a picture of the window the program brings up: Johannes Kepler



Ovládání apletu:

Následující aplet umožňuje pohrát si s Keplerovými zákony a získat na ně lepší náhled.

Červený bod v prostředku obrazovky představuje Slunce.
Pohybující se žlutý bod je planeta.
Počáteční podmínky (vektor počáteční rychlosti) jsou reprezentovány modrou orientovanou úsečkou.
Planeta začíná konat pohyb v počátku modré orientované úsečky a velikost její počáteční rychlosti je úměrná délce orientované úsečky.

Změna velikosti elipsy, po které obíhá planeta - kliknutím do počátku modré orientované úsečky a posouváním myši vpravo/vlevo měníte velikost elipsy.
Změna vektoru počáteční rychlosti - kliknutím na modrou orientovanou úsečku a posouváním myši nahoru/dolů měníte velikost počáteční rychlosti.

Změnou modré orinetované úsečky můžete nastavit počáteční hodnoty a to hned ve třech modech:
  1. neměnná kinetická energie
  2. neměnný moment hybnosti
  3. libovolně
Pozastavení animace - kliknutím pravého tlačítko myši animaci pozastavíte, opětovným kliknutím ji znova spuštíte.
Pro vynulování - použijte tlačítko Obnovit pro nastavení původních počátečních hodnot.

Můžete se zaměřit na zkoumáni jednoho ze tří Keplerových zákonů nebo na zobrazení potenciálu (toto už není středoškolská úroveň).

Při výběru 1. Keplerova zákona se zobrazují spojnice planety s oběma ohnisky elipsy.

Při výběru 2. Keplerova zákona jsou barevně odlišeny plochy opsané průvodičem, které mají stejnou velikost.

3. Keplerův zákon – žlutý bod v grafu vlevo dole ukazuje na velikost poměru daného 3. KZ. Protože je bod špatně viditelný, doporučuji měnit velikost elipsy, čímž se v grafu začne vykreslovat přímka, která je tvořena různými polohami žlutého bodu.

Při volbě počáteční podmínky nazvané libovolně, můžete pomocí myši měnit velikost rychlosti (modrá orientovaná úsečka).
Je-li podmínkou neměnná kinetická energie, rychlost se měnit nemůže, protože tím by se změnila i kinetická energie.
Při volbě nemměného momentu hybnosti (vzorec6) , pokud změníte velikost průvodiče, rychlost se změní automaticky tak, aby moment hybnosti byl stále konstantní.

Graf, který se vykresluje v levé dolní části, zobrazuje, že poměr T2/a3 je konstantní.

Aplet umožňuje také zobrazení veličin, se kterými seznamuje studenty až vysokoškolský kurz fyziky, proto zde nejsou o zmíňovaných veličinách žádné poznámky.



Odkazy:

Odkaz na teorii i aplet na Keplerovy zákony: http://www.astro.pef.zcu.cz/hvezdy/main.php?tema=charakteristika&page=30
Anglický odkaz na teorii o Keplerových zákonech: http://home.cvc.org/science/kepler.htm
Odkaz na Keplerův životopis: http://zivotopisyonline.cz/johannes-kepler.php

Valid HTML 4.01 Transitional