Řešení úlohy s jeřábem

Protizávaží jeřábu slouží k vyrovnání tíhy vodorovného ramene a zavěšeného břemene, aby se jeřáb nepřeklopil přes přední hranu podstavce. Budeme tedy uvažovat, že při maximální hmotnosti zavěšeného břemene je jeřáb právě vyvážen vzhledem k ose tvořené přední hranou podstavce. Svislá část (nosná věž) jeřábu je umístěna nad přední hranou podstavce, její tíha má tedy vůči zvolené ose nulový moment a při výpočtu ji nemusíme uvažovat. Hmotnost protizávaží zjistíme z podmínek pro rovnováhu, jestliže budeme znát maximální hmotnost břemene v určité vzdálenosti a hmotnost vodorovného ramene (hmotnost podstavce pro jednoduchost zanedbáme).

Hmotnost vodorovného ramene můžeme spočítat ze zadaných informací: Při délce ramene d₁ = 28 m je maximální hmotnost závaží m₁ = 4,1 t. Při nastavení ramene na délku d₂ = 40 m můžeme jeřáb zatížit ve stejné vzdálenosti (28 m) maximálně hmotností m₂ = 2,8 t. Rozdíl je zřejmě dán přidanou hmotností m₃ nastaveného ramene o délce 12 m, které má působiště své tíhy uprostřed své délky, tedy ve vzdálenosti d₃ = 34 m od osy otáčení. Vyjádříme tento rozdíl pomocí velikostí momentů tíhových sil závaží a přidané části ramene jako:

Velikost tíhového zrychlení g se stejně jako ve všech následujících vztazích vykrátí, hmotnost dvanáctimetrového nastaveného ramene potom vyjde přibližně m₃ = 1 071 kg. Hmotnost háku s kladkami m_H = 200 kg jsme zatím do výpočtu nezahrnovali, protože (stejně jako 28 m dlouhé rameno) působí ve stejné vzdálenosti stejným momentem a nemá tedy na rozdíl momentů vliv.

Hmotnost m₄ čtyřicetimetrového ramene je podle předchozího výsledku:

Moment tíhové síly vodorovného ramene, závaží a háku s kladkami na jedné straně je roven momentu tíhy protizávaží na druhé straně:

d₄ = 20 m je vzdálenost působiště tíhy ramene, d₅ = 4,6 m je vzdálenost působiště tíhy protizávaží od osy otáčení. Z posledního vztahu určíme hledanou hmotnost protizávaží m₅ = 33 783 kg.

Stejně můžeme nakonec spočítat maximální hmotnost nákladu m₆, který lze (i s hákem a kladkami) zvedat na konci dlouhého ramene (ve vzdálenosti d₆ = 40 m) z momentové věty:

Maximální teoretická hmotnost nákladu na konci čtyřicetimetrového ramene, která ještě nepřeklopí jeřáb vychází m₆ = 1 900 kg. V praxi bude samozřejmě maximální povolené zatížení z důvodu bezpečnosti nižší než tato teoretická hodnota.

Zavřít okno