Dílna
- Kalkulačka
(by Rolf Howarth)
- Návody na pokusy
- Vyrobte si sami
- Úlohy a příklady
- Počítačové programy
- Fyzikální soutěže
Aplety:
- Mechanika - anglicky
- Molekulová fyzika - anglicky
- Vlnění - anglicky
- Elektřina a magnetismus - anglicky
- Optika - anglicky
- Jaderná fyzika - česky
- Jaderná fyzika - anglicky
- Relativita - anglicky
- Kvantová mechanika - anglicky
|
Teoretické výsledky prvního pokusu
Vodorovný trámek upevněný na jedné straně se v technické literatuře obvykle označuje jako vetknutý nosník.

obr. 3
Pokud takový nosník na jeho konci zatěžujeme silou F, platí (při malých hodnotách prohnutí!) pro velikost jeho prohnutí na konci d vztah:

kde l je délka ohýbané části nosníku, E je modul pružnosti v tahu materiálu, ze kterého je nosník vyroben, J je takzvaný plošný moment určený tvarem průřezu nosníku. Plošný moment lze spočítat ze vztahu:

kde y je proměnná výška (měřená od středu) průřezu o obsahu S.
Pro obdélníkový průřez nosníku o šířce a a výšce b vyjde velikost prohnutí:

pro kruhový průřez o poloměru R:

Odvození prvního obecného vztahu pro průhyb nosníku lze najít například
v [1]. Aniž bychom procházeli toto ovození, přesahující rámec běžné
středoškolské matematiky, můžeme si ukázat, proč mají vztahy uvedený charakter.
Podívejme se nyní, co z výše uvedených vztahů vyplývá a jak se to shoduje s našimi naměřenými hodnotami.
Předně vidíme, že velikost průhybu závisí na třetí mocnině délky
nosníku. Také to lze vyjádřit tak, že při stejném prohnutí je síla
zatěžující konec nosníku nepřímo úměrná třetí mocnině jeho délky. V
našem případě ohýbání špejle to znamená, že pro dvakrát delší kus
špejle by měla stačit osmkrát menší síla na stejné prohnutí, pro
třikrát delší kus 27-krát menší síla atd. Z našeho prvního měření
můžeme snadno zjistit, nakolik se k této závislosti blížíme. Zřejmě
nedostaneme přesně kubickou závislost, ale asi také rozhodně nebude
lineární.
Výsledky ohybu stejně dlouhých částí dvou nebo tří slepených špejlí
můžeme zase srovnat s teoretickou závislostí průhybu obdélníkového
nosníku na jeho šířce a výšce. Závislost zatížení F nosníku na jeho šířce a
je lineární, což v našem případě znamená, že trámek ze tří špejlí
položených a slepených naplocho vedle sebe by měl jít ohnout o stejnou
velikost d třikrát větší silou než jedna samostatná špejle. To
je pochopitelné, protože si můžeme představit, že každá špejle se ohýbá
"sama za sebe". Pokud ale budeme ohýbat tři špejle nastojato (výška b
je třikrát větší než u jedné špejle) měla by být síla potřebná k jejich
ohnutí 27-krát větší, než v případě jedné špejle (devětkrát větší než u
tří špejlí ohýbaných naplocho). To nemusí platit úplně přesně, protože
slepené kulaté špejle nemají přesně obdélníkový průřez, pro který
uvažovaný vztah platí.
Asi přijdete ještě na další důvod, proč průhyb slepených špejlí nezávisí přesně na třetí mocnině jejich společné výšky b.
Pokud totiž porovnáme výsledky průhybu špejlí slepených vteřinovým a
tavným lepidlem (eventuelně pouze svázaných), zjistíme pravděpodobně,
že špejle slepené tavným lepidlem se nastojato ohýbají snáze než ty,
které jsou slepeny vteřinovým lepidlem. Svázané špejle se ohýbají
nejsnáze. Zřejmě tedy záleží na tom, jak pevně jsou špejle mezi sebou
spojeny. Když se podíváme ještě jednou pozorně na to, jak se ohýbají
špejle slepené měkkým tavným lepidlem, zjistíme, že se vůči sobě při
ohybu trochu pohybují (podobně se chovají například listové pružiny u
některých vozidel). Vteřinové lepidlo takový pohyb umožní jen ve velmi
omezené míře a špejle se tak chovají více jako homogenní trámek, pro
který platí uvedený vztah. Svázané špejle se naopak mohou vůči sobě
pohybovat zcela volně, a proto je jedno, zda je ohýbáme naplocho, nebo
nastojato.
Jak tedy odpovíme na naše úvodní dva problémy?
V případě prken zatěžovaných naplocho na sobě, nebo umístěných
nastojato, je situace zřejmě stejná jako v případě slepených a
neslepených špejlí. Pokud jsou prkna umístěna naplocho, mohou se vůči
sobě při ohýbání pohybovat a síla potřebná k jejich prohnutí je tedy
pouze desetkrát větší než síla potřebná ke stejnému prohnutí jediného
prkna. Prkna umístěná nastojato se chovají při zatěžování jako
jednolitý trám o desetkrát větší výšce než je výška jednoho prkna a
síla potřebná k jejich prohnutí by tedy byla tisíckrát větší než u
jednoho prkna. Výsledkem tedy je, že nastojato umístěná prkna jsou v
našem případě při ohybu stokrát pevnější než prkna naskládaná na sobě.
A jak je to v případě ocelového I nosníku? Na první pohled
by se mohlo zdát (zvláště po vyřešení prvního problému), že nosník
uložený ve tvaru písmene H se bude ohýbat hůře než I nosník, protože se
zde musí ohýbat nastojato dvě vzpěry, kdežto u I nosníku jen jedna. Ve
skutečnosti je však výrazně pevnější nosník uložený ve tvaru I. Je to
způsobeno tím, že při ohýbání nosníku záleží nejvíce na hmotě, která je
rozmístěna na výšku nosníku co nejdále od sebe. Tato hmota se totiž
musí při ohybu natahovat nebo smršťovat (viz ještě jednou
přibližné odvození vztahu pro ohyb nosníku). V případě průřezu tvaru I
je v maximální vzdálenosti od sebe (na výšku nosníku) více materiálu
než u stejně velkého čtvercového průřezu tvaru H.
Pokračovat - pružnost dřeva
Verze pro tisk
|