Zjednodušené odvození vztahu pro ohyb

Uvažujme nosník upevněný na jedné straně a zatěžovaný silou F na druhém konci, viz obr. 5. Při ohýbání se poněkud protahuje horní část nosníku, spodní část se naopak trochu smršťuje. Odtud je zřejmé, proč v uvedeném vztahu vystupuje modul pružnosti v tahu respektive v tlaku (tyto dvě hodnoty považujeme za stejné, což u dřeva nemusí přesně platit).

obr. 5

Abychom odvodily vztah pro ohyb přesně, museli bychom vyjádřit vztah mezi prodloužením (ev. smrštěním) materiálu a silou, která ho způsobuje v každé části nosníku. Zjednodušme si situaci tím, že budeme předpokládat, že nosník je zcela tuhý (neohýbá se), kromě malé části v blízkosti uchycení, která se může natahovat, viz obr. 6. Všechna jednotlivá prodloužení nosníku po celé jeho délce jsme tedy nahradili prodloužením Dl pouze jeho krajní části. Takovéto zjednodušení si můžeme dovolit, pokud nám jde pouze o závislost ohybu na charakteristických hodnotách šířky, výšky a délky nosníku, ne o určení všech konstant v hledaném vztahu.

obr. 6

Je-li délka nosníku l a výška b, platí zřejmě z podobnosti trojúhelníků, viz obr. 6:

,

kde d je velikost prohnutí nosníku na konci. Normálové napětí vzniklé v krajní části nosníku je podle Hookova zákona dáno vztahem:

,

kde E je modul pružnosti dřeva v tahu. Správně bychom měli uvažovat průměrné prodloužení krajní části nosníku, tedy ne Dl, nýbrž Dl/2, ale protože nám jde o závislost na charakteristických rozměrech, nebudeme konstantu 1/2 uvažovat. Normálové napětí lze dále vyjádřit také jako

,

kde Fp je síla pružnosti působící kolmo na plochu průřezu nosníku S = a.b (a je šířka, b výška nosníku). Síla pružnosti Fp způsobující prodloužení krajní části nosníku souvisí podle momentové věty se silou F, kterou je zatížen konec nosníku, vztahem:

Sloučením uvedených vztahů dostáváme Hookův zákon pro pružnou deformaci okrajové části nosníku v neupraveném tvaru

,

odkud jednoduchou úpravou dostaneme přibližnou závislost koncového prohnutí nosníku na zatížení a na charakteristických rozměrech nosníku:

Na odvozeném vztahu je především vidět, že velikost ohybu závisí přímo úměrně na zatížení a třetí mocnině délky nosníku, nepřímo úměrně na šířce a třetí mocnině výšky nosníku. Při odvozování jsme kromě uvedených zjednodušení zanedbávali také smršťování nosníku ve spodní části a uvažovali jsme pouze protažení horní části. Pokud ale předpokládáme stejný modul pružnosti v tahu a v tlaku, projeví se toto zanedbání opět maximálně konstantou ve výsledném vztahu.

Zobrazit pro tisk