Podrobnosti k integraci

Při výpočtu momentu setrvačnosti disku jsme vycházeli ze vztahu

Abychom součet provedli přesně, nahrazujeme sčítání ve vztahu (6) integrací. Formálně to znamená, že místo symbolu sumy napíšeme symbol integrálu. Za m_i dosazujeme hmotnost tenkého prstence o poloměru r

,

kde symbol dr vyjadřuje tloušťku prstence, která se blíží k nule. Počítáme tedy s nekonečně mnoha prstenci, jejichž poloměr se zvětšuje od 0 do R (poloměr disku). Proto v následujícím integrálu místo r_i píšeme pouze spojitě proměnnou r a pod a nad symbol integrálu píšeme integrační meze 0 a R, které vyjadřují, odkud kam se mění integrační proměnná r.

Integrování se týká pouze integrační proměnné a proto všechny konstanty, které jsou v součinu s r můžeme vytknout před integrál a za s dosadit hmotnost celého disku dělenou plochou disku.

Funkci r³ integrujeme jako

,

obecně všechny funkce typu xⁿ se integrují tak, že exponent se zvýší o jedničku a funkce se vydělí číslem n + 1.

Formální zápis potom vypadá následovně.

Ještě zbývá dosadit za proměnnou r integrační meze, což se provede tak, že do výsledného výrazu dosadíme za r horní mez (tj. R) a odečteme od něj stejný výraz s dosazenou spodní mezí (tj. 0).

Vidíme, že poslední člen, který odčítáme je nulový a po vykrácení můžeme tedy napsat výsledný moment setrvačnosti disku