Řešení problému cesty na Jupiter

Střední vzdálenost Země od Slunce (jednu astronomickou jednotku) budeme pro jednoduchost považovat také za hlavní poloosu eliptické trajektorie Země, přibližně tedy a_Z = 1 AU = 149.10⁹ m. Oběžná doba Země T_Z je jeden rok, vzdálenost Jupitera od Slunce je přibližně a_J = 5,2 AU.

obr. I

pro uvedené hodnoty a = 3,1 AU.

Dobu cesty k Jupiteru můžeme nyní jednoduše určit z třetího Keplerova zákona jako polovinu oběžné doby T lodi po uvažované eliptické trajektorii. Loď se pohybuje stejně jako Země v gravitačním poli Slunce a pro jejich oběžné doby a velikosti hlavních poloos jejich trajektorií můžeme tedy psát:

Oběžná doba lodi potom vychází:

Cesta k Jupiteru by tedy za takových podmínek trvala přibližně dva a tři čtvrtě roku.

Rychlost lodi v periheliu (v okamžiku startu) můžeme určit pomocí druhého Keplerova zákona. Tento zákon můžeme chápat tak, že zůstává konstantní takzvaná plošná rychlost C lodi. Ta je dána podílem plochy DS opsané průvodičem planety a času Dt, za který loď tuto plochu opíše.

Do vztahu (70) můžeme dosadit za DS plochu celé elipsy S = pab a za Dt příslušný čas jedné periody oběhu T.

v_p je rychlost lodi v periheliu.

Pro uvažované hodnoty vychází rychlost lodi v periheliu přibližně 38,68 km.s^-1. Protože obvodová rychlost Země kolem Slunce je přibližně 31 km.s^-1, stačilo by lodi udělit rychlost necelých 8 km.s^-1 ve směru pohybu Země.

Poznámky

Skutečná situace vypouštění lodi k Jupiteru by byla samozřejmě složitější. Rychlost 8 km.s^-1 vzhledem k Zemi je například menší než úniková rychlost při povrchu Země (11,2 km.s^-1) a bylo by třeba diskutovat, z jaké výšky nad Zemí je potřeba loď vypouštět. Cesta k Jupiteru by musela být také plánována s ohledem na postavení planet tak, aby loď na konci své cesty zastihla Jupiter apod.