FyzWeb síly |
||||||
Výpočet určitého integrálu
Drobná čísla pod a nad symbolem integrálu jsou takzvané integrační meze, které vyjadřují, od jakých hodnot do jakých se mění proměnná x, podle které integrujeme. Při výpočtu integrálu můžeme vytknout všechny konstanty před integrál - stejně jako vytýkáme stejné členy ze součtu před závorku: V integrálu nám tak zůstala pouze funkce x2, dx je už nyní z matematického hlediska pouze symbol označující integrační proměnnou. Funkci x2 nyní zintegrujeme (přesněji se říká, že k ní najdeme primitivní funkci) jako: Primitivní funkce k některým základním funkcím můžete najít například v tabulkách i bez toho abyste přesně rozuměli, jak byly odvozeny. Všechny mocniny se například integrují tak, že mocninu zvýšíme o jedničku a výraz vydělíme tímto zvýšeným mocnitelem: V praxi je pak ještě potřeba naučit se, jak se integrují například složené funkce a součiny pomocí různých substitucí apod. Vraťme se nyní k našemu integrálu. Zbývá nám dosadit do primitivní funkce integrační meze. Prakticky to znamená, že do získaného výrazu nejdříve dosadíme za proměnnou x horní mez a odečteme od něho stejný výraz s dosazenou dolní mezí (vytknuté konstanty samozřejmě opíšeme). Zápis pak vypadá takto: Tím je integrace hotová a zbývá upravit celkový výraz pro souřadnici těžiště
kde jsme hmotnost trojúhelníka ve jmenovateli vyjádřili jako součin plošné hustoty a obsahu trojúhelníka. Popsaný způsob výpočtu určitého integrálu samozřejmě není vyčerpávajícím matematickým popisem integrace. Jednotlivé úlohy se budou vždy lišit především funkcí, kterou chceme integrovat a právě nalezení primitivní funkce (tomu se říká též výpočet neurčitého integrálu) bývá u integrace nejsložitější. Ostatní procedury, jako sestavování integrálu, úpravy, nebo dosazování mezí jsou mechanické záležitosti a provádějí se u určitého integrálu (to je zjednodušeně řečeno integrál s mezemi) vždy stejně.
|