Zaujal vás nějaký fyzikální jev? Nevíte si rady s jeho vysvětlením? Neváhejte a napište nám svůj dotaz!
nalezeno 42 dotazů obsahujících »tono«
13) Ludolfovo číslo π
24. 04. 2006
Dotaz: Jak se dá vypočítat pi třeba na milion desetinných míst?(nějakým vzorcem,nebo
výpočtem) Jak to ten Ludolf vypočítal? (Radek)
Odpověď: Číslo π je pojmenováno po Holanďanovi Ludolphu von Ceulen, který v roce 1596 spočítal π na 20 destinných míst (a později na 35). Používal k tomu starou Archimédovu metodu - obvod kruhu je něco mezi obvodem vepsaného a opsaného „conejvíceúhelníku”.
Označení π pak zavedl slavný matematik Leonhard Euler, ale poprvé ji použil v roce 1706 William Jones ve vydání překladu Newtonových spisů.
K výpočtu lze použít mnoha metod. Kromě již vmíněného opisování a vepisování n-úhelníků například také výraz
π = 2 x (2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 ...)/(1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 ...)
Tento výraz však konverguje velice pomalu (tj. přidáváním dalších členů se jen pomalu blíží ke spravné hodnotě), proto se příliš nepoužívá. Pro výpočty je vhodnější použít například
π = 16 arctg(1/5) - 4 arctg(1/239)
a správné hodnoty arcustangenty spočítat pomocí řady
Dotaz: Když stojím na povrchu Země, tak můžu změřit, jak mě přitahuje gravitační silou.
Když ale volně padám, tak jsem v beztíži (přitažlivou sílu nezměřím). Platí
totéž i třeba pro magnetické pole? Kdybych byl ze železa a stál na povrchu
magnetu, změřil bych přitahování. Kdybych volně padal v magnetickém poli, byl
bych v magnetické beztíži? Je to stejné i pro volný pád třeba v poli silné
jaderné interakce? (Petr Plachý)
Odpověď: Možnost "vyrušení" gravitačního působení při volném pádu vychází z předpokladu, že hmotnost vystupující v 2. Newtonově zákoně (tzv. setrvačná hmotnost) je stejná, jako hmotnost vystupující v gravitačním zákoně (tzv. gravitační hmotnost, někdy též gravitační náboj). Dalo by se tady říct, že se hmotnost (a s ní i gravitační a setrvačné účinky) při volném pádu vykrátí, zruší.
Celé to ale funguje jen pro tělesa padající v homogenním gravitačním poli. Když by pole nebylo homogenní, působily by na různé části tělesa různě veliké síly, které by bylo potřeba kompenzovat různě velkým zrychlením při onom padání. Těleso, jako celek, ale může padat jen s jediným zrychlením. Gravitační účinky by tedy pro celé těleso "vyrušit" nešly.
Při pádu tělesa v magnetickém poli to fungovat nebude. Především ze dvou důvodů. První z nich je ten, že zde proti sobě působí magnetická síla (závislá na velikosti magnetického dipólu) a setrvačnost (závislá na hmotnosti). V rovnicích se tedy tyto dvě charakteristiky tělesa nemohou vykrátit a s nimi tedy ani silové účinky na nich závisející.
Druhý důvod je pak ten, že magnetická síla, jíž působí magnet na železné těleso, je úměrná nemomogenitě (gradientu) magnetického pole. Kdyby bylo magnetické pole homogenní, bude stejnou silou jeden pól magnetu (či zmagnetizovaného tělesa) přitahovat, jako ten druhý pól odpuzovat. V součtu tedy jako by na těleso žádná síla nepůsobila. Padá-li tedy těleso v (pouze) magnetickém poli, musí být toto pole nehomogenní, a pak ze stejného důvodu jako u nehomogenního pole gravitačního nelze účinky tohoto pole zcela odrušit volným pádem.
U silné jaderné interakce je problematické mluvit o pádu tělesa, neboť silná jaderná interakce je krátkodosahová síla. A působí na tak krátké vzdálenosti, že již často nemá smysl hovořit o pohybu v klasickém smyslu a je potřeba jevy popisovat pomocí kvantové mechaniky.
Poznámka: Předpokladu, že gravitační a setrvačná hmotnost jsou stejné veličiny (což mimochodem vůbec není tak samozřejmé, jak se nám na první pohled zdá), se říká princip ekvivalence a je jedním ze základních stavebních kamenů obecné teorie relativity.
Dotaz: Mám dvě koule o stejném objemu a rozdílné hmotnosti. Ve vzdušné atmosféře je
současně pustím. Která dopadne dříve. (Miroslav David)
Odpověď: Ve vzdušné atmosféře dopadne o něco dříve těžší koule. Podle druhého Newtonova zákona se těleso pohybuje se zrychlením úměrným fíle, která na těleso působí a nepřímo úměrnému jeho hmotnosti:
a = F/m
Ve vzdušné atmosféře na těleso působí jednak tíhová síla F = m*g, ale také brzdná síla tření o vzduch a vztlaková síla vzduchu (i vzduch je kapalina a platí zde hydrostatický zákon). Obě naposledy zmíněné síly nějakým způsobem závisí na tvaru a objemu tělesa, což můžeme zjednodušeně napsat F = -α*V, kde α je nějaký faktor a V objem tělesa. Můžeme tedy tyto síly dosadit do 2. Newtonova zákona a získáváme tvar:
a = (m*g - α*V)/m = g - α*V/m
Vidíme tedy, že zrychlení (a tedy i výsledná okamžitá rychlost) bude tím větší, čím menší bude výraz α*V/m a tedy čím větší bude hmotnost m a menší objem V.
Dotaz: Dobrý den. Při čtení dotazů jsem si vzpomněl, jak jsem se jednou s kamarádem přel
o to, jestli, když vyskočím uvnitř vlaku jedoucího konstantní rychlostí svisle
vzhůru, zdali dopadnu na stejné místo, nebo zpomalím a dopadnu směrem dozadu o
kus vedle. Myslím že neztratím svou rychlost a dopadnu na stejné místo, avšak
kamarád si to nemyslí. Děkuji za odpověď (matousek)
Odpověď: Pokud vlak nebude zrychlovat, zpomalovat či zatáčet, dopadnete na stejné místo. Vzpomeňte si na znění prvního Newtonova zákona "těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu ... ". Vy ve vlaku jste takové těleso pohybující se rovnoměrně přímočaře (odmysleme nyní vertikální pohyb a gravitační sílu, která vás nutí zase dopadnou na podlahu). Pokud tedy vlak pod váma nezačne zrychlovat, zpomalovat či zatáčet (= uhýbat vám do strany), pak se vy i vlak pohybujete společně rovnoměrně přímočaře a musíte tedy dopadnout na stejné místo, odkud jste vyskakoval (vzhledem k vlaku). Ostatně zkuste si to!
Dotaz: Chtela bych se Vas zeptat, kdo prvni dokazal, ze existuji atomy a jak toto
tvrzeni dolozil a obhajil? Dekuji za odpoved (Irenka)
Odpověď: První myšlenky o existenci atomů pocházejí z dob starověkého Řecka (zmiňován bývá především Démokritos, který žil v 5.-4. století př.n.l.), šlo však spíše o filosofické spekulace.
První novodobou teorii o existenci atomů formuloval anglický fyzik John Dalton (1766-1844). Když roku 1796 zkoumal poměry prvků u různých sloučenin, zjistil, že prvky bývají zastoupeny v poměru malých celých čísel. To bylo možné vysvětlit právě tím, že existují částečky látek (atomy), které již dále nelze dělit, a jejichž vzájemnou kombinací jsou vytvářeny ostatní látky (sloučeniny).
