Část 2: Klasická relativita

Skoro každému se při zmínce o teorii relativity vybaví jméno Alberta Einsteina. Ten publikoval první články ke svojí Speciální teorii relativity (STR, anglicky Special Relativity - SR) v roce 1905 a později v roce 1915 i k Obecné teorii relativity (OTR, anglicky General Relativity - GR), a tím se po právu nesmazatelně zapsal do historie vědy (ačkoli je třeba dodat, že jeho vědecký záběr byl skutečně široký a například Nobelovu cenu dostal za zcela něco jiného než teorii relativity). Méně známým faktem je, že samotný pojem relativita a některé její základní myšlenky jsou výrazně starší a fyzika musela ujít dlouhou cestu, než mohl Albert Einstein svými teoriemi uchvátit fyziky na desítky let dopředu.

Když o něčem řekneme, že je to relativní, znamená to, že vnímání dané věci závisí na našem úhlu pohledu. Říká se, že krása je relativní pojem, protože každý ji vnímá trochu jinak a pro každého znamená krása něco trochu jiného. Ve fyzice se pojem relativita poprvé objevuje v mechanice, tedy v nauce o pohybu. Hned v prvním příkladu na začátku první části jsme viděli, že pohyb předmětů je relativní, jinými slovy, různí lidé ho vnímají různě. Člověk jedoucí ve vlaku vnímá pohyb padajícího kamene jinak než člověk stojící na chodníku vůči zemi v klidu. Zcela jinak by pohyb kamene vnímal člověk jedoucí oproti vlaku v protisměru či astronaut na Mezinárodní vesmírné stanici na oběžné dráze kolem Země. Jak jsme už viděli v předchozí části, zároveň ovšem existují i invariantní (absolutní), tedy na úhlu pohledu nezávislé skutečnosti (v klasické fyzice např. zmíněná vzdálenost objektů). Například Einstein sám byl nešťastný ze zdůrazňování relativnosti ve rčeních typu "vše je relativní" a považoval volbu slov v názvu teorie (který nepochází od něj) za ne úplně vhodnou.

Z každodenní zkušenosti víme, že to tak je, a v úvaze u obrázku 1.2 v první části jsme si vysvětlili i proč to tak je. Každý pozorovatel má svůj pevný bod a osy, od kterých odečítá vzdálenosti. Tyto vztažné soustavy se pohybují spolu s pozorovateli, takže vlastně vůči sobě navzájem. Jiný způsob určení polohy znamená jiný popis pohybu a rychlosti. Matematicky řečeno, každý pozorovatel má svou vlastní soustavu souřadnic (často se říká také systém souřadnic, znamená to to samé). Samozřejmě, skupina pozorovatelů může mít stejný systém souřadnic, pokud se vůči sobě nepohybují (například všichni se vezou stejným dopravním prostředkem).

S tímto přístupem bychom se ale daleko nedostali. Jestliže každý vnímá pohyb jinak, jak můžeme vyvozovat nějaké obecné závěry? Vždyť fyzika by měla platit pro všechny stejně! Taky že ano a k tomu se nám budou hodit transformace souřadnic, které nám překládají popis děje v jedné soustavě souřadné na popis v soustavě jiné. Transformace souřadnic jsou tím slovníkem a tlumočníkem, který nám pomáhá se dorozumět, když se naše popisy na první pohled neshodují.

Nejdříve ale malý výlet do historie. Galileo Galilei (1564-1642) toho vykonal pro fyziku (a nejenom fyziku) opravdu hodně. Zejména prováděl experimenty. Ve svých pracích se například odvolával na zkušenosti s lodní dopravou. Představme si, že bychom se zavřeli do vnitřku lodě a zařídili, aby loď plula stále stejným směrem se stále stejně velkou rychlostí (ponechme nyní stranou, jak se asi mohla tahle podmínka prakticky splnit). Všimli bychom si nejenom, že bez pohledu z okna nepoznáme, jestli loď opravdu pluje nebo ne, ale například že i oheň hoří stejně, jako by stál na pevné zemi, a kouř stoupá kolmo vzhůru (musíme samozřejmě zamezit průvanu). Dokonce hmyz v kabině létá stejně neuspořádaně sem a tam, jakoby loď stála na místě, a všechny mechanické experimenty, které bychom si s sebou přinesli (například kuličky na nakloněných rovinách) by dopadly stejně, jako na pevnině.

Na druhou stranu, když by přišla nějaká větší vlna a loď rozkývala, ovlivní to všechno dění v kajutě. Stejně tak pokud by loď zrychlovala nebo naopak zpomalovala, nezajištěné předměty by se posouvaly, zavěšené lampy kývaly a tak dále. Podobně by se projevilo i zatáčení, tedy změna směru. Více o Galileiho experimentech a životě se můžete dočíst v [2] (vizte seznam literatury).

Na základě celé řady podobných experimentů došel Galileo k závěru, kterému dnes říkáme Galileiho či klasický princip relativity nebo také Galileiho relativita. Ta mluví, převedeno do dnešní terminologie, o inerciálních vztažných soustavách, proto bychom si měli připomenout, co že to vlastně inerciální soustava je.

2.1 Inerciální, nebo neinerciální?

Klasická mechanika se z velké části opírá o Newtonovy zákony. Nejsme tu od toho, abychom opakovali učivo střední školy, nicméně pro naše účely bude dobré si připomenout první Newtonův zákon, tak zvaný zákon setrvačnosti. Když si otevřeme učebnici mechaniky pro střední školy [3], najdeme tam následující definici:

Každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento stav změnit.

To dává docela dobrý smysl. Pokud na předmět nepůsobí vnější síly, nemá důvod nebýt v klidu, případně odchýlit se od rovnoměrného přímočarého pohybu. Této vlastnosti setrvávat ve stavu se stále stejnou rychlostí (velikostí i směrem!) říkáme „překvapivě“ setrvačnost.

Od Prvního Newtonova zákona je jen krůček k inerciálním a neinerciálním systémům. Představte si libovolný dopravní prostředek, například vlak, který se pohybuje rovnoměrně přímočaře (tedy konstantní rychlostí stále stejným směrem). Cestující uvnitř prožívají a dělají věci naprosto stejně, jako by vlak stál na místě. Chodí tam a sem, stolují v jídelním voze, aniž by se jim oběd rozutíkal po celém vagóně, mohou si klidně házet míčem a nebudou mít problém se trefit, a tak všelijak podobně. Pokud bychom s vlakem spojili souřadný systém, nazvali bychom takový systém inerciální. Když je v takovém systému předmět v klidu, v klidu taky zůstane, dokud na něj nezapůsobí nějaká síla (tedy například hrnek s čajem se nevylije, dokud do něj někdo omylem nedrkne). Stejně tak cvrnknutá kulička se bude po podlaze pohybovat (odmyslíme-li si tření) stále stejnou rychlostí a stejným směrem, dokud ji něco nezastaví. Podobný závěr bude platit pro jakákoli jiná tělesa. Fyzikálně bychom řekli, že v inerciálních soustavách platí zákon setrvačnosti, což je také nejčastěji používaná definice inerciálních systémů.

Poznámka 2.1

Důležitou otázkou je, zda je i naše planeta Země inerciálním systémem. Čistě technicky vzato není, díky své rotaci a obíhání Slunce. Na druhou stranu, rozdíly oproti inerciální soustavě jsou tak malé, že ve většině běžných případů, můžeme Zemi za inerciální systém považovat, a s ní i všechny soustavy, které jsou vůči jejímu povrchu v klidu nebo se pohybují rovnoměrně přímočaře. Na stranu třetí, jsou situace a jevy, kdy rotaci Země ignorovat nelze. Příkladem je např. Coriolisova síla a její účinek na proudění vzduchu v atmosféře.

Co se ale stane s cestujícími ve vlaku a jejich věcmi, když vlak začne náhle brzdit? Všechno sebou škubne, a kdo se nedrží, může upadnout a ublížit si. Hrnek s čajem má tendenci se převrhnout, aniž by do něj někdo strčil. Kulička na podlaze se z klidu rozjede ve směru pohybu vlaku nebo již kutálející se kulička změní směr či rychlost v závislosti na tom, jakým směrem se původně ubírala. Prudké brzdění je obzvláště nebezpečné pro vybavení jídelního vozu. Zkrátka, vše kolem nás se najednou už nechová, jako by vlak stál, ale jinak (a často ne moc příjemně).

My fyzikální pozorovatelé naštěstí všichni víme, proč se to děje. Brzděním se vlak přestal pohybovat rovnoměrně přímočaře. Přestal tím být inerciálním systémem, stal se tedy systémem neinerciálním. Typickým příkladem neinerciálního systému, vyjma zrychlujícího nebo zpomalujícího vlaku, je točící se kolotoč. Zkuste se někdy v rámci experimentu jít zatočit, ať už v parku nebo na pouti. Zkuste se napít, sníst zmrzlinu (ale pozor na znečištění sebe nebo svého okolí) nebo se někam trefit míčkem za jízdy. Věci se najednou nechovají tak, jak jsme zvyklí. Dokonce ve fyzice potřebujeme zavést různé zdánlivé síly, abychom dokázali chování věcí v neinerciálních systémech vysvětlit.

Vraťme se zpět k inerciálním soustavám. Nyní si můžeme připomenout Galileiho princip relativity. Ten nám říká (alespoň ve své modernější podobě), že

zákony mechaniky jsou stejné ve všech inerciálních vztažných soustavách.

Rovnice, které tyto zákony vyjadřují, mají stejný tvar.

Empiricky zažíváme Galileiho princip relativity, kdykoli se pohybujeme vůči zemi konstantní rychlostí (vlak, auto, autobus), a připadáme si naprosto stejně, jako by náš dopravní prostředek byl vůči ní v klidu. V jedoucím vlaku můžeme hrát ping pong stejně dobře jako na pevné zemi, ovšem ve chvíli, kdy vlak začne brzdit, stane se neinerciálním systémem a pokazí nám hru. Podobně také jízda autem po dálnici je dobrý příklad cestování, kdy často jedeme stále stejným směrem stejnou rychlostí. V takovém případě sedíme v sedadle a vše v autě kolem nás funguje úplně stejně, jako bychom seděli doma v křesle. Můžeme si položit vedle sebe kelímek s pitím a ten se sám nevylije, dokud nenajedeme na hrbol, nezačneme brzdit nebo zatáčet. Zkuste si příště uvědomit rozdíl v tom, jak se cítíte (fyzicky, s emocemi vám fyzika bohužel nepomůže), když auto vjíždí do větší zatáčky oproti tomu, když jedete přímo rovně bez zrychlování. Dostanete dobrý příklad změny inerciálního systému v neinerciální a naopak.

K čemu nám je Galileiho relativita? V podstatě nám říká, že jakýmkoli mechanickým pokusem nemáme šanci rozlišit mezi inerciálními systémy souřadnic (podívat se z okna považujeme za podvádění, ale i poté nevíme s naprostou jistotou, zda se pohybujeme my nebo věci venku – jistě znáte situaci, kdy sedíme na nádraží ve stojícím vlaku a v prvním okamžiku rozjíždění si nejsme jisti, jestli se pohybuje vedlejší vlak nebo ten náš). Například, pokud bychom byli zvukotěsně zavřeni ve vagonu bez oken a odizolovali bychom drncání vlaku po kolejích, nedokázali bychom poznat, zda vlak stojí nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Navíc, inerciální systémy jsou velice příjemné k počítání, protože je v nich často fyzikální popis dané situace jednodušší. Takových systémů ale existuje samozřejmě spousta a důležitou schopností je mezi nimi umět přecházet. Pojďme si ukázat, jak na to.

2.2 Galileiho transformace

Obrázek 2.1 Dvě inerciální souřadné soustavy se společnou vodorovnou osou.

Mějme dva inerciální systémy. Z definice plyne, že mají-li být oba inerciální, musí se vůči sobě pohybovat rovnoměrně přímočaře, tedy jejich vzájemná rychlost se nemění a má stále stejný směr. Například můžeme nečárkovanou soustavu ztotožnit se zemí a čárkovanou s autem jedoucím konstantní rychlostí $\vec{V}$. Pro jednoduchost položme do směru této rychlosti osu $x$ a zároveň osu $x^\prime$ (dle obrázku 2.1). Čárkovaný počátek $O^\prime$ spojený s autem se tedy také jednoduše pohybuje rovnoměrně přímočaře ve směru osy $x$. Dovolíme si ještě jedno malé zjednodušení. Čas $t$ (který samozřejmě budeme potřebovat, protože věci se kolem nás pohybují) začneme počítat od okamžiku, kdy se počátky obou souřadnic překrývaly. Jinými slovy jsme v momentě, kdy počátky splývaly, zmáčkli stopky. Potom aplikací toho, co známe ze střední školy o rovnoměrném přímočarém pohybu, zjistíme, že pro dráhu, kterou čárkovaný počátek urazí za nějaký čas $t$ (a tím pádem i pro vzdálenost obou počátků) platí $|OO^\prime|=Vt$. Chtěli bychom nyní najít vztah $x$-ových souřadnic v obou soustavách. Z obrázku 2.1 plyne, že pokud se už počátky soustav minuly (tj. platí $t>0$), dostaneme nečárkovanou souřadnici $x$ čistě sečtením vzdálenosti počátků a čárkované souřadnice $x^\prime$. Něco podobného jsme viděli už v první kapitole u transformace (1.1). Tam byla vzdálenost počátků soustav fixní, takže stačilo k jedněm souřadnicím přičítat nebo odčítat konkrétní číslo. Zde je u vzájemně se pohybujících soustav už samozřejmě závislá na čase. Zároveň zde platí, že jelikož se vzájemný pohyb odehrává pouze ve směru $x$-ových os, ostatní souřadnice nemají důvod se lišit. Celkem dostáváme tzv. Galileiho transformaci \begin{align*} x&=x^\prime+Vt \\ y&=y^\prime \label{Gal} \tag{2.1} \\ z&=z^\prime. \end{align*}

Samozřejmě bychom rádi také přecházeli z čárkovaného systému do nečárkovaného, opačnou transformaci najdeme snadno úpravou předchozích rovnic: \begin{align*} x^\prime&=x-Vt \\ y^\prime&=y \\ z^\prime&=z. \end{align*} Všimněme si, že opačnou transformaci bychom dostali také, pokud bychom prostě zaměnili nečárkované souřadnice za čárkované a místo rychlosti $V$ dosadili $-V$. To odpovídá přesně situaci. Pokud stojíme v nečárkované soustavě, ta čárkovaná se vůči nám pohybuje rychlostí o velikosti V směrem doprava. Pokud se ale pohybujeme spolu s čárkovanou soustavou, z jejího pohledu stojíme a je to nečárkovaná soustava, kdo se vůči nám pohybuje stejně velkou rychlostí, ale na druhou stranu.

Ilustrujme si apliaci této transformace na jednoduchém příkladu. Využijeme k němu situaci z obrázku 2.1. Dejme tomu, že pouliční lampa je od počátku nečárkované soustavy spojené se zemí vzdálena $20\:\text{m}$. Pro její nečárkovanou souřadnici tedy platí $x=20\:\text{m}$. Auto, kterému jsme přiřadili čárkovanou soustavu, jede klidnou rychlostí $8\:\text{m}/\text{s}$. Podle naší volby se v čase $t=0\:\text{s}$ počátky obou souřadnic překrývají, vzdálenost auta a lampy (tj. souřadnice lampy $x^\prime$) tedy musí být také $20\:\text{m}$. V čase $t=1\:\text{s}$ je potom tato vzdálenost $x^\prime=20\:\text{m}-8\:\frac{\text{m}}{\text{s}}1\:\text{s}=12\:\text{m}$, o sekundu později je $x^\prime=4\:\text{m}$ a o další sekundu později $x^\prime=-4\:\text{m}$. Auto už tedy zjevně nechalo lampu za sebou.

Skládání rychlostí

Z Galileiho transformace plyne mimo jiné hojně a intuitivně používané pravidlo o skládání rychlostí. Dejme tomu, že se pohybujeme určitou konstantní rychlostí o velikosti $V$ (například jedeme autem) a hodíme ve směru pohybu auta balónek s určitou počáteční rychlostí, jejíž velikost si označíme $v^prime$ a autu tak přiřkneme čárkovanou soustavu. Domluvme se nyní pro účel tohoto odvození na dvou zjednodušeních. Za prvé si odmyslíme tření vzduchu, protože se chceme věnovat situaci s konstantními rychlostmi a tření vzduchu by hozený balónek začalo okamžitě brzdit. Za druhé budeme také zanedbávat působení gravitace, protože v reálné situaci by se balónek po vypuštění nejenom pohyboval ve směru jízdy auta, ale i padal k zemi. To je pro nás v tuto chvíli zbytečná komplikace, protože nám bohatě stačí skládání rychlostí odvodit v jednom rozměru. Oběma zjednodušením bychom sice mohli perfektně vyhovět, kdybychom uvažovali o kosmických lodích ve vakuu dostatečně daleko od jakéhokoli většího zdroje gravitace, ale radši bychom zatím zůstali stát nohama na zemi. Však se do vesmíru ještě dostatečně podíváme.

Všem nám jistě připadá celkem rozumné tvrdit, že vzhledem k pozorovateli, který bude v klidu vůči zemi, se balónek bude pohybovat rychlostí $v=v^\prime+V$ stejným směrem jako auto. Samozřejmě tu mluvíme o velikostech rychlostí. Rychlost je vektorová veličina a skládání rychlostí musí platit i pro vektory jako takové, tedy: $\vec{v}=\vec{v'}+\vec{V}$, což je pravidlo, které bychom museli využít, kdyby se veškerý pohyb neodehrával v jednom směru. Protože jsme si ale schválně veškerý pohyb nastavili v jedné přímce (rychlost $\vec{V}$ by v tomto případě měla složky $\vec{V}=(V;0;0)$), nemusíme nutně používat vektorový popis a vystačíme si jen s $x$-ovými složkami. Mimochodem, s podobnou situací se typicky setkáváme ve škole, kdy u jednorozměrných problémů ponecháváme stranou vektorovou povahu veličin a soustředíme se jen na jednu jejich složku.

Ukažme si nyní, jak zmíněné pravidlo o skládání rychlostí plyne z Galileiho transformace. Označme čas, kdy hodíme v autě míč rychlostí $v^\prime$ vodorovně ve směru naší osy $x^\prime$ jako $t_1$. V čárkované soustavě tedy pro souřadnici míče v libovolném pozdějším čase $t_2$ platí $x^\prime=v^\prime(t_2-t_1 )=v^\prime\Delta{}t$. Pro přehlednost a úsporu místa jsme si zavedli změnu času jako $\Delta{}t=(t_2-t_1)$. Připomeňme, že podle klasické fyziky plyne čas pro všechny pozorovatele stejně, takže ho zde není třeba čárkovat a rozlišovat. Jak nyní zjistíme rychlost míče vůči systému S (pozorovatel na zemi)? Vzpomeňme si na definici průměrné rychlosti \begin{equation*} \text{průměrná rychlost} = \frac{\text{uražená dráha}}{\text{uplynutý čas}} . \end{equation*}

Průměrnou rychlost můžeme použít, protože všechny rychlosti v našem příkladu jsou konstantní. Hledáme-li tedy rychlost míče v nečárkované soustavě, najdeme ji jako $v=\frac{Δx}{Δt}$. Povšimněme si nyní jedné příjemné vlastnosti Galileiho transformace \eqref{Gal}, je tzv. lineární, což znamená, že se v ní všechny souřadnice vyskytují v první mocnině. Díky této vlastnosti můžeme rovnou vyjádřit změnu nečárkované souřadnice jako $\Delta x=\Delta x^\prime+V\Delta t$. Podle definice je totiž $\Delta x$ rozdíl nějakých dvou souřadnic $x_2$ (tj. kde se míč nachází v čase $t_2$) a $x_1$ (pozice míče v čase $t_1$). A pro každý z těchto okamžiků můžeme použít Galileiho transformaci. Dostáváme tedy $$ \Delta x=x_2-x_1=x_2^\prime+Vt_2-(x_1^\prime+Vt_1 )=x_2^\prime-x_1^\prime+V(t_2-t_1)=\Delta x^\prime+VΔt.$$ Pokud je tedy nějaká transformace lineární, můžeme ji přímo aplikovat jak na konkrétní souřadnice, tak na jejich změny. V další kapitole se nám tato znalost bude velice hodit.

Protože $\Delta x^\prime$ je vzdálenost, kterou za zvolený časový interval míč uletí vzhledem k čárkované soustavě rychlostí $v^\prime$, platí $\Delta x^\prime=v^\prime\Delta t$. Celkem tedy pro rychlost míče, jak ji naměří pozorovatel stojící na zemi, máme \begin{equation} \label{skladRych} \tag{2.2} v=\frac{Δx}{Δt}=\frac{(\Delta x^\prime+V\Delta t)}{Δt}=\frac{v^\prime\Delta t + V\Delta t}{\Delta t}=v^\prime+V . \end{equation} Tento vztah se dá samozřejmě i obrátit podobně jako to bylo u samotné Galileiho transformace. Pokud by pozorovatel na zemi změřil rychlost míče i auta, mohl by snadno dopočítat, že se vůči nám v autu míč pohybuje rychlostí $v^\prime=v-V$ (z principu věci, máme-li hodit míč v jedoucím autě dopředu, musí platit $v\lt V$, takže tato verze dává vždy kladný výsledek.)

Co kdybychom míč hodili dozadu, tedy opačně ke směru jízdy auta? V takovém případě má v souřadném systému auta míč vektor rychlosti směřující opačně než v prvním případě, pro jeho čárkovanou souřadnici platí $\Delta{}x^\prime=-v^\prime{}\Delta{}t$ (kde $v^\prime$ je stále velikost rychlosti, ne hodnota $x$-ové složky rychlosti), a my tak následně dostaneme pro rychlost vůči stojícímu pozorovateli $v=V-v^\prime$. Tedy odečítání rychlostí, které také běžně používáme.

Poznámka 2.2

Velice zajímavým případem je situace, kdy $v'=V$. Správně by tedy míč vyhozený směrem dozadu přesně stejnou rychlostí, jakou se pohybuje vozidlo, měl pro pozorovatele na zemi stát na místě (samozřejmě co se týče vodorovného pohybu, nijak nezabráníme tomu, aby padal svisle dolů díky přitažlivosti Země). Tento efekt například ověřil tým z populárně-vědeckého seriálu Mythbusters (v češtině Bořiči mýtů) a video s tímto experimentem si můžete prohlédnout na YouTube.

Ještě si dovolme jedno rychlé technické upozornění. Pokud bychom vyhodili míč z auta směrem dozadu takovou rychlostí, že by bylo $v^\prime$ větší než $V$, vyšla by nám v posledním vztahu nečárkovaná rychlost $v$ záporná, což u velikosti rychlosti nedává smysl. To je důsledek našeho „ignorování“ vektorové povahy rychlostí. V takovémto případě by totiž míč vůči zemi letěl skutečně doleva (respektive proti směru osy $x$) a jeho vodorovná složka rychlosti by tedy byla záporná. Aby vztah pro velikost rychlosti fungoval obecně, musela by v něm být absolutní hodnota $v=|V-v^\prime|$. To už ale trochu zabředáváme do detailů.

Stejná fyzika pro všechny... inerciální soustavy

Ukažme si dále, co máme na mysli tvrzením, že zákony mechaniky mají ve všech inerciálních systémech stejný tvar (vizte vyjádření Galileiho principu relativity). Asi nejdůležitějším fyzikálním zákonem mechaniky je druhý Newtonův zákon (2. NZ) $\vec{F} =m\vec{a}$ (Zrychlení tělesa je přímo úměrné působící síle, konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa). Jinými slovy, pokud působí na těleso nějaká síla, uděluje mu zrychlení a zároveň platí mezi silou a zrychlením předmětu přímá úměra. Konstantu vystupující v této přímé úměře nazýváme hmotnost.

Nyní bychom chtěli ukázat, že 2. NZ je platný stejně tak v čárkované jako nečárkované inerciální soustavě a tím podpořit Galileiho relativitu, která nám říká, že neexistuje důvod, proč by jedna inerciální soustava měla být něčím výjimečná a odlišná od ostatních, a zákony mechaniky musí platit stejně ve všech inerciálních soustavách. Prakticky vzato, kdybychom vzali dva pozorovatele, každého v různé inerciální soustavě (například jeden v klidu vůči zemi a druhý jedoucí ve vlaku s konstantní rychlostí vůči zemi), došli by svými mechanickými experimenty ke stejným závěrům. Jelikož matematicky vyjadřujeme fyzikální zákony pomocí rovnic, zároveň to znamená, že i tyto rovnice musí nabývat stejného tvaru ve všech inerciálních systémech.

Mějme těleso, které se pohybuje v čárkované soustavě se zrychlením $\vec{a^\prime}$. Klasická mechanika předpokládá, že hmotnost tělesa se nemění při přechodu do jiné inerciální soustavy, proto ji není třeba čárkovat a platí $m=m^\prime$ (ve speciální relativitě už to tak jednoduché nebude, ale tam zatím nejsme). Zamysleme se nyní nad silami. V mechanice známe typicky síly, které závisí na vzdálenostech (gravitační síla, elektrická síla, síla pružiny apod.). Už víme, že transformací do jiné soustavy se vzdálenosti zachovávají, takže ani síly působící v inerciálních soustavách se Galileiho transformací nezmění.

Jak to bude se zrychlením? Aplikujme nyní Galileiho transformaci (konkrétně z ní vyplývající skládání rychlostí) na zrychlení v čárkované soustavě podle definice (zrychlení = změna rychlosti / změna času). Opět si pro naši jednorozměrnou situaci dovolíme použít jen první složky vektorových veličin. S využitím výsledku \eqref{skladRych} dostáváme \begin{equation}\tag{2.3}\label{2.3} a^\prime=\frac{Δv^\prime}{Δt}=\frac{v_2^\prime-v_1^\prime}{Δt}=\frac{(v_2 - V)-(v_1-V)}{Δt}=\frac{v_2-v_1}{Δt}=\frac{Δv}{Δt}=a \end{equation} Náš závěr tedy zní: Zrychlení tělesa v obou soustavách je stejné, a protože jsme nijak nespecifikovali, co za soustavy máme na mysli, platí rovnost zrychlení pro všechny inerciální vztažné systémy.

O vzorci, který nezmění svůj tvar, pokud provedeme transformaci souřadnic, říkáme, že je vůči této transformaci invariantní. Nyní tedy víme, že druhý Newtonův zákon, jeden z nejdůležitějších zákonů mechaniky, je invariantní vůči Galileově transformaci a splňuje tak Galileiho princip relativity, protože všechny tři veličiny, síla, hmotnost a zrychlení, které v něm vystupují, se při transformaci nemění. Naše úvahy se tedy zdají být zatím konzistentní, protože experimentátoři provádějící mechanické pokusy v různých inerciálních soustavách tak dojdou ke stejným výsledkům.

Ilustrujme si nyní přecházení mezi inerciálními soustavami na příkladu ze střední školy, který se objevuje při výkladu o rovnoměrně zrychleném (i když v tomto případě spíše zpomaleném) pohybu. Zadání zní následovně:

Vinou dispečinku se dva vlaky jedoucí za sebou dostanou na stejnou kolej. První vlak jede rychlostí $50\:\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$, a zezadu ho dohání druhý vlak rychlostí $80\:\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$. Strojvedoucí rychlejšího vlaku si všimne přední vlakové soupravy, když jsou od sebe vzdáleny $100\:\text{m}$. Začne okamžitě brzdit s maximálním možným zrychlením $1{,}5\:\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$. Strojvedoucí předního vlaku si ničeho nevšiml, takže jede beze změny dále. Stihne zadní vlak zabrzdit a zabránit tak srážce?

Abychom byli precizní, uděláme si zápis zadaných veličin (vizte obrázek 2.2):

\begin{array}{lr} v_1=50\:\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=\frac{50}{3{,}6}\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}=\frac{500}{36}\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}=\frac{125}{9}\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1} & (\text{rychlost prvního vlaku}) \\ v_2=80\:\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=\frac{80}{3{,}6}\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}=\frac{800}{36}\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}=\frac{200}{9}\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1} & (\text{rychlost druhého vlaku}) \\ a=1{,}5\:\text{m}\cdot\text{s}^{-2} & (\text{brzdné zrychlení druhého vlaku}) \\ s=100\:\text{m} & (\text{počáteční vzdálenost mezi vlaky}) \\ \end{array}

Obrázek 2.2: Zadané veličiny v soustavě spojené se zemí.

Aby se nám jednodušeji počítalo, převedli jsme kilometry za hodinu na metry za sekundu (zápis pomocí zlomku je přesnější a užitečnější než desetinné číslo). Fyzikální úvaha je zde jednoduchá, nebezpečí srážky pomine ve chvíli, kdy se druhému vlaku podaří zpomalit alespoň na rychlost vlaku prvního. Stačí tedy zjistit, zda se to stane ještě dřív, než se vlaky srazí.

Čas potřebný k dostatečnému snížení rychlosti označíme t_z a najdeme ho díky vztahu pro okamžitou rychlost rovnoměrně zpomaleného pohybu. V tomto případě \begin{equation*} v_1=v_2-at_z \implies t_z=\frac{v_2-v_1}{a}. \end{equation*} Pro dráhu zastavení $s_z$, kterou bude vlak ke zpomalení potřebovat, platí \begin{equation*}\label{2.4}\tag{2.4} s_z=v_2t_z-\frac{1}{2}at_z^2=v_2\frac{v_2-v_1}{a}-\frac{1}{2}\frac{(v_2-v_1)^2}{a}\doteq100{,}3\:\text{m}. \end{equation*} Zatím se zdá, že vlak tedy zpomalit nestihne, ale zapomněli jsme na jednu důležitou věc. Zatímco zadní vlak brzdí, co mu síly stačí, přední vlak stále pokračuje svojí rychlostí $v_1$, takže za dobu brzdění zadního vlaku popojede dále o vzdálenost $s_1=v_1t_z=77\:\text{m}$. Ve skutečnosti má tedy brzdící souprava na zpomalení celkem přibližně 177 metrů, což podle \eqref{2.4} pro zastavení bohatě stačí.

Můžeme postupovat ale i jinak. Všechny veličiny v příkladu jsou zadány vůči zemi (což je samozřejmě nejčastější). Takže kdybychom stáli poblíž kolejí v klidu, naměřili bychom velikosti zrychlení, rychlostí i vzdáleností podle zadání. V takovém případě ale musíme počítat s pohyby obou vlaků. Situace se nám zjednoduší, pokud se budeme na problém dívat z pohledu předního vlaku, jinými slovy, v jeho vztažné soustavě. To můžeme udělat, protože přední vlak jede rovnoměrným přímočarým pohybem vůči zemi, takže reprezentuje inerciální vztažnou soustavu. Výsledek v ní tedy musí být stejně platný jako v inerciální soustavě spojené se zemí.

Ve své soustavě souřadnic přední vlak stojí na místě (počátek soustavy se pohybuje spolu s ním), má tedy i nulovou rychlost. Brzdící vlak se stále pohybuje, ale v této soustavě souřadnic pouze rozdílem rychlostí obou vlaků $v^\prime=v_2-v_1=30\:\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=\frac{25}{3}\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Zrychlení brzdícího vlaku (vzpomeňte na invarianci 2. NZ) i vzdálenost na začátku brzdění mezi nimi zůstává stejná (obrázek 2.3). V této situaci platí, že nebezpečí srážky pomine, když se brzdící vlak přestane přibližovat k přední soupravě. Tím pádem musí jeho rychlost v této soustavě klesnout na nulu:

\begin{equation*} 0=v^\prime-at_z\implies t_z=\frac{v^\prime}{a}. \end{equation*}

Obrázek 2.3: Takto situaci vnímá pozorovatel v prvním vlaku.

Dráha $s_z^\prime$, kterou brzdící vlak v tomto čase ujede, je \begin{equation*}\label{2.5}\tag{2.5} s_z^\prime=v^\prime t_z-\frac{1}{2}at_z^2=\frac{(v^\prime)^2}{a}-\frac{1}{2}\frac{(v^\prime)^2}{a}=\frac{(v^\prime)^2}{2a} \doteq ̇23\:\text{m}. \end{equation*} Takže na stometrové vzdálenosti vlak stihne zastavit a my dostáváme stejnou odpověď jako v předchozím případě, ale trochu rychleji. Oba výsledky se také shodují v tom, že vlaky se k sobě dostanou na vzdálenost přibližně $77\:\text{m}$.

Shrnutí druhé části

Relativita je fyzikální princip, který se objevuje již v klasické mechanice a je daleko starší než modernější STR a OTR. Základem této myšlenky je fakt, že některé fyzikální veličiny, jako jsou například trajektorie pohybu či rychlost, se mohou pro různé fyzikální pozorovatele lišit. Musíme proto vždy specifikovat, vůči čemu (tj. v jaké vztažné soustavě) danou situaci popisujeme.
Inerciální soustavy jsou takové, ve kterých platí 1. Newtonův pohybový zákon (zákon setrvačnosti). Všechny inerciální soustavy se vůči sobě navzájem pohybují rovnoměrně přímočaře. Galileiho relativita nám říká, že všechny mechanické pokusy dopadnou v inerciálních soustavách stejně, neboli že fyzikální zákony ve všech inerciálních soustavách mají stejný tvar, jinak řečeno jejich rovnice jsou stejné.

Pro přechod mezi dvěma inerciálními systémy $S$ a $S^\prime$ se používá tzv. Galileiho transformace, která má v té nejjednodušší a zároveň nejpoužívanější konfiguraci vztažných systémů tvar \begin{align*} x&=x^\prime+Vt \\ y&=y^\prime \\ z&=z^\prime, \\ \end{align*} kde $V$ je vzájemná rychlost vztažných soustav.
Z Galileiho transformace přímo vyplývá například pravidlo o skládání rychlostí, které běžně používáme v každodenním životě.

Příklady k druhé části

Auta na dálnici

Po rovné dálnici jedou stejným směrem dvě auta, první auto má na tachometru stále rychlost $72\:\text{km}\!\cdot\!\text{h}^{-1}$, druhé se drží na $126\:\text{km}\!\cdot\!\text{h}^{-1}$. S každým autem ztotožníme jednu vztažnou soustavu, jejichž $x$-ové osy umístíme do směru jejich jízdy.

Napište konkrétní transformaci, kterou můžeme přecházet mezi vztažnými soustavami obou aut a soustavou spojenou se zemí.
Řidič rychlejšího z aut si všimne překážky na vozovce v momentě, kdy je od něj překážka vzdálena $200\:\text{m}$. Začne okamžitě brzdit se zrychlením $3{,}5\:\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}$. Stihne zastavit? Ověřte, že výpočet dopadne stejně v soustavě spojené se zemí i v soustavách obou aut.

Řešení

K sepsání Galileiho transformace mezi dvěma soustavami potřebujeme jejich vzájemnou rychlost. Označme vztažnou soustavu spojenou se zemí jako $S_1$, soustavu pomalejšího z aut $S_2$ a rychlejšího jako $S_3$.

Tři inerciální soustavy, jedna spojená se zemí a dvě spojené s auty jedoucími konstatními rychlostmi.

Podle zadání je rychlost pomalejšího auta vzhledem k zemi $v_{12}=72\:\text{km}\!\cdot\!\text{h}^{-1}=20\:\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-1}$ a rychlejšího auta vzhledem k zemi $v_{13}=126\:\text{km}\!\cdot\!\text{h}^{-1}=35\:\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-1}$. Díky pravidlu o skládání rychlostí můžeme určit také rychlost rychlejšího auta vzhledem k pomalejšímu jako $v_{23}=15\:\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-1}$ Pro x-ové souřadnice soustav platí podle \eqref{Gal} \begin{align*} x_1&=x_2+v_{12}t=x_2+20t \\ x_1&=x_3+v_{13}t=x_3+35t \\ x_2&=x_3+v_{23}t=x_3+15t \end{align*}

Zbylé souřadnice $y$ a $z$ zůstávají beze změny. Samozřejmě můžeme snadno najít i opačné transformace: \begin{align*} x_2&=x_1-20t \\ x_3&=x_1-35t \\ x_3&=x_2-15t \end{align*}

Poznámka: Povšimněte si, že transformace na sebe navazují, například můžeme přejít ze soustavy $1$ do soustavy $3$ přes soustavu $2$: $x_3=x_2-15t=(x_1-20t)-15t=x_1-35t$.
Začněme výpočtem vůči zemi. Rychlost auta v této soustavě je přímo hodnota odečítaná na tachometru, tedy $126\:\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=35\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, překážka se vůči zemi nehýbe. V textu již máme odvozen vzorec \eqref{2.4} pro dráhu, která je potřeba k zastavení. Dosazením ve správných jednotkách dostáváme, že vůz zastaví na dráze $175\:\text{m}$. Zastavit tedy stihne.

Téměř okamžitě dostaneme výsledek v klidové soustavě brzdícího auta. V ní má auto nulovou rychlost i nulové zrychlení, zatímco překážka se blíží nejprve původní rychlostí velikosti $35\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ a následně po začátku brzdění získá zrychlení $-3{,}5\:\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$. Počítáme tedy se stejnými čísly jako v předchozím a náš výpočet tak musí díky symetrii dopadnout stejně.

V klidové soustavě pomalejšího auta se rychlejší auto pohybuje jejich vzájemnou rychlostí, tedy zmíněných $15\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, a překážka rychlost o velikosti $20\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ a opačného směru. Jaké je zrychlení brzdícího auta v této soustavě? Podle vztahu \eqref{2.3} z textu bude stejné, protože zrychlení je invariantní při přechodu mezi dvěma inerciálními soustavami (tj. při přechodu Galileiho transformací). Aby se k sobě rychlejší auto a překážka přestaly z pohledu pomalejšího auta přibližovat, musí mít rychlosti o stejné velikosti i směru. Auto tedy musí přejít z rychlosti $15\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ v původním směru pohybu na velikost $20\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ v opačném směru. Celková změna rychlosti pro auto je tedy opět $35\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, což mu zabere s jeho zrychlením $10\:\text{s}$ (změna rychlosti vydělená zrychlením). Za tu dobu urazí překážka vzdálenost $20\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\cdot10\:\text{s}=200\:\text{m}$. S dráhou auta je to trochu složitější. Nejprve se v této soustavě pohybuje vpřed, zabrzdí a pak se začne pohybovat směrem dozadu (protože jeho rychlost vůči zemi klesne pod rychlost původně pomalejšího auta). Pokud použijeme vztah pro dráhu rovnoměrně zpomaleného pohybu, dostáváme \begin{equation*} s(10\:\text{s})=15\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\cdot10\:\text{s}-\frac{1}{2}3{,}5\:\text{m}\cdot\text{s}^{-2}(10\:\text{s})^2=-25\:\text{m}. \end{equation*} Tento výsledek znamená, že v čase $10\:\text{s}$ se rychlejší auto už posunulo o $25\:\text{m}$ dozadu z pohledu původně pomalejšího auta. Lépe celou situaci uvidíme na následujícím grafu:

Červená křivka je poloha auta vykreslená pomocí vztahu $15t-0{,}5\cdot3{,}5t^2$. Modrá křivka je poloha překážky. Začíná na vzdálenosti $200\:\text{m}$ od auta a mění vzdálenost podle vztahu $200-20t$. Jak vidíme, křivky se až do zastavení auta neprotnou, takže nedojte ke srážce. Nejblíže se k sobě dostanou až v čase zastavení, a to právě na vzdálenost $25\:\text{m}$.