Nejdůležitější závěr předcházející kapitoly byl, že chceme-li konkrétně popsat a následně pracovat s gravitací jako zakřiveným prostoročasem, potřebujeme znát odpovídající metriku. K jejímu nalezení slouží tzv. Einsteinovy rovnice (ER, někdy se také používá Einsteinovy polní rovnice nebo Einstenův gravitační zákon), které už ale svou složitostí překračují naše momentální možnosti a zájemce si o nich může detailnější informace zjistit jistě sám. Ale i když je řešení této soustavy rovnic matematicky komplikované, její základní filozofie je vcelku jednoduchá. Je názorné představit si rovnice jako stroj. V tomto případě je vstupem matematický popis rozložení hmoty, energie a dalších přidružených veličin v prostoru, a výstupem je pak metrika daného prostoročasu (nebo aspoň jeho části). Stručně řečeno: „Řekni mi, jak je rozložena hmota (atd.), a já ti řeknu, jak se zakřiví prostoročas kolem“.

To se sice snadno řekne, ale hůře reálně udělá. ER jsou natolik komplikované, že dodnes existuje jen několik jejich přesných řešení, tj. několik konkrétních fyzikálních situací, kdy jsme schopni dopočítat se výsledného zakřivení prostoročasu. My se tedy nebudeme pouštět do komplikovaného matematického řešení, ale místo toho si vypůjčíme a rozebereme nejjednodušší a přitom pro naše pochopení nejdůležitější situaci, tzv. Schwarzschildovo řešení (čistě technicky vzato je nejjednodušším řešením Einsteinových rovnic plochý prostoročas, tj. tehdy když v okolí nejsou žádné gravitující zdroje, ale tato situace pro nás není teď zajímavá). Karl Schwarzschild byl německý fyzik a astronom, který v roce 1916, krátce po Einsteinově uveřejnění finální podoby jeho polních rovnic, jako první přišel s jejich přesným řešením (je zajímavé, že k tomu objevu přišel na válečné frontě, protože tehdy zuřila první světová válka a Schwarzschild sloužil jako poručík u dělostřelectva a prováděl výpočty balistických křivek). Ke svému řešení došel za jistých zjednodušujících podmínek, totiž že gravitující těleso je sféricky symetrické a nerotuje.

Je vhodné si hned rozmyslet, o jak velké zjednodušení se jedná. V našem povídání budeme často Schwarzschildovo řešení aplikovat na nám známá vesmírná tělesa jako je Země a Slunce, i když je běžně známo, že obě tělesa nejsou zcela přesně kulová a rotují kolem své osy. Když se ale například podíváme na Zemi, najdeme, že její rovníkový poloměr je přibližně \(6378\:\text{km}\) a polární přibližně \(6357\:\text{km}\). Člověku se tento rozdíl cca \(21\:\text{km}\) může zdát velký, ale musíme si uvědomit, že v porovnání s velikostí planety je to opravdu málo. Vezmeme-li rovníkový poloměr jako výchozí, pak je Země na pólech zploštělá jen o přibližně \(0{,}3\:\%\) této hodnoty. Pokud bychom si to představili na bowlingové kouli o průměru zhruba \(22\:\text{cm}\), znamená to, že koule by mohla být v jednom směru zploštělá o zhruba \(0{,}7\:\text{mm}\). To jistě není něco, co bychom dokázali od oka poznat, a bowlingovou kouli bychom považovali za skutečnou kouli. Stejně tak je i naše planeta natolik podobná kouli, že se k ní tak můžeme v dobrém přiblížení chovat (což už vlastně po celou dobu tohoto textu děláme). Podobný argument bychom mohli vyslovit i pro Slunce, jehož poloměr na rovníku a na pólu se liší o pouhých \(0{,}0009\:\%\).

Rotaci jistě Zemi upřít nemůžeme. Umíme dokonce i spočítat, jak rychle rotuje. Pomocí známého vzorečku pro obvodovou rychlost při kruhovém pohybu \(v=2\pi R_\text{Z}/T_\text{Z}\) můžeme pomocí rovníkového poloměru Země \(R_\text{Z}\) a periody otáčení \(T_\text{Z}\) (přibližně \(24\) hodin) spočítat rychlost, se kterou se s námi Země otáčí, když stojíme na rovníku (tam je tato rychlost otáčení největší, směrem k pólům se zmenšuje). Vyjde nám \(v\:\dot{=} \:464\:\text{m}/\text{s}\). To se samozřejmě zdá být poměrně velká rychlost v lidském měřítku, ale vzpomeňme si na speciální relativitu. Tam jsme viděli, že jelikož v porovnání s rychlostí světla (přibližně \(300 000\:\text{km}/\text{s}\)) je tato rychlost zanedbatelně malá, běžně při ní efekty speciální relativity nepozorujeme (vzpomeňte na tabulku 3.1). Zde je to podobné. Existuje totiž i řešení Einsteinových polních rovnic pro případ rotujícího tělesa, tzv. Kerrovo řešení, ale to už spadá opravdu mimo rámec možností tohoto textu. Už jen to, že bylo objeveno až \(47\) let po tom Schwarzschildově, značí, že se jedná o poměrně komplikovanou záležitost. Podstatné ale je, že Kerrovo řešení pro nulovou (či zanedbatelně malou) rotaci daného tělesa přechází v to Schwarzschildovo. Otázkou samozřejmě je, co to přesně znamená zanedbatelně pomalá rotace. Pro konkrétní vysvětlení bychom ale už příliš museli zabíhat do popisu Kerrova řešení. Zájemci se tedy mohou více dozvědět například na Wikipedii. My se dále přidržíme zjednodušení, kdy na Zemi, Slunce a podobná tělesa budeme aplikovat Schwarzschildovo řešení.

Začněme úhlovou souřadnicí \(\varphi\), protože to bude nejrychlejší. Porovnáme-li metriky \eqref{4.21} a \eqref{4.22}, vidíme, že v nich úhlová souřadnice vystupuje zcela stejně. I celý člen \(r^2(\text{d}\varphi)^2\) vypadá naprosto stejně (jak ale uvidíme, význam souřadnice \(r\) bude jiný). Prakticky to znamená, že v tečném směru (myšleno tečně k pomyslné kružnici \(r=konst\)) se neděje nic nového. To není tak udivující, když si uvědomíme, že celá situace je sféricky symetrická (v našem případě roviny spíše pouze kruhově symetrická). Tím pádem nemůže záležet na tom, na jaké úhlové souřadnici (tj. jakým směrem od zdroje) se nacházíme. Anebo jinak řečeno, protože sféricky symetrické těleso působí gravitačně pouze radiálně, projeví se očekávané zakřivení prostoru právě jen v závislosti metriky na radiální souřadnici.

O něco delší, ale stále celkem rychlý bude rozbor časové souřadnice \(t\), nazývané také souřadnicový čas. Již jsme se zmiňovali o tzv. gravitační dilataci času neboli skutečnosti, že v gravitačním poli plyne obecně čas v různých místech různě. Vidět je to přímo z metriky \eqref{4.22}. Pokud budeme stát na místě, tj. naše souřadnice \(r\) i \(\varphi\) budou konstantní, bude pro nás platit \(\text{d}r=\text{d}φ=0\) a metrika se zjednoduší na \begin{equation*}\label{4.23}\tag{4.23} (\text{d}s)^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2(\text{d}t)^2. \end{equation*}

Nyní je třeba si připomenout vlastní čas, který jsme si zatím jen zmínili ve třetí části. Tam jsme ukázali, že různým pozorovatelům může obecně různě plynout čas, a proto je třeba mezi nimi rozlišovat. Náš vlastní čas je ten, který nám pomyslně odtikává na hodinkách na ruce. Definičně je to čas v naší klidové soustavě. Označme si ho, jak je v relativitě zvykem \(\tau\) (tedy řeckým písmenem tau, které se ve fyzice používá skoro vždy, když už máme \(t\) zabrané). Pro vlastní čas z definice platí \((\text{d}s)^2=-c^2(\text{d}\tau)^2\) (což jsme ukázali v části o STR, pouze pro konečné rozdíly \(\Delta\) a ne nekonečně malé, které musíme používat v OTR, ale zde to platí stejně). Mínus v definici vlastního času je v pořádku, protože jak jsme se zmiňovali, kvadrát prostoročasového intervalu mezi dvěma událostmi, mezi kterými se pohybujeme podsvětelnou rychlostí (což my jako hmotná tělesa ani jinak nedokážeme), je v naší konvenci záporný. Definici vlastního času je dobré chápat tak, že pokud jsme přítomni dvěma událostem, dělí je z pohledu naší klidové soustavy pouze čas, nikoli prostor. Například vzpomeňte na relativistickou raketu z minulé části, která letěla mezi Zemí a Marsem. V soustavě rakety byla vzdálenost mezi odletem ze Země a příletem na Mars \(\Delta x^\prime\) nulová, protože raketa byla přítomna oběma událostem, takže se z jejího pohledu staly na stejném místě.

Pokud tedy dosadíme definici vlastního času do \eqref{4.23}, dostáváme \begin{equation*}\label{4.24}\tag{4.24} -c^2(\text{d}\tau)^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2(\text{d}t)^2\implies\text{d}\tau=\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}\text{d}t. \end{equation*} Tato vztah nám prakticky ukazuje souvislost mezi vlastním časem libovolného stojícího pozorovatele a plynutím časové souřadnice \(t\). Abychom ale konečně objasnili její význam, musíme si představit, že v rovnici \eqref{4.24} půjdeme se souřadnicí \(r\) velmi daleko. Ačkoli za chvilku uvidíme, že \(r\) nemá přímo význam radiální vzdálenosti od středu centrálního tělesa, i tak to znamená vzdalovat se směrem pryč. S narůstající vzdáleností je ve jmenovateli zlomku pod odmocninou čím dál tím větší číslo a zlomek je tím pádem čím dál tím menší. Pokud se pomyslně vzdálíme tak daleko, až bude zlomek prakticky nerozeznatelný od nuly (matematicky řečeno až se vzdálíme do nekonečna), bude pod odmocninou jednička. Jedná se prakticky o limitní proces, ale pokud jste na limity zatím nenarazili, přidržte se prostě té praktické představy být tak daleko, že už rozdíl zmíněné odmocniny a jedničky bude pod naši rozlišovací schopnost. Matematicky zapsáno \(\text{d}\tau\rightarrow\text{d}t\) pro \(r\rightarrow+\infty\) (což čteme „\(\text{d}\tau\) se blíží k \(\text{d}t\) pro \(r\) jdoucí do plus nekonečna“). To znamená, že \(t\) má význam vlastního času pozorovatele velmi vzdáleného od centrálního tělesa. Natolik vzdáleného, že prakticky necítí jeho gravitační účinky. Proč používáme právě tento čas jako souřadnici? Vzorec \eqref{4.24} naznačuje, že statickým pozorovatelům na různých radiálních souřadnicích plyne čas různě. To je právě efekt gravitační dilatace času. Nejste-li na stejném místě, bude vám a vaší kamarádce plynout čas jinak. Na čem se ale shodnete, je čas nekonečně vzdáleného pozorovatele \(t\), který si můžete z \eqref{4.24} oba dopočítat. Je to analogické tomu, když se na různých místech na Zemi používal čas Greenwichského poledníku pro synchronizaci hodin na celém světě (zde ale nejde samozřejmě o dilataci času, ale časová pásma). K problematice plynutí času se ještě detailněji vrátíme, nyní pojďme dokončit rozbor metriky prozkoumáním souřadnice \(r\).

Co je to tedy zač ta souřadnice \(r\)? Nejlépe si to ukážeme na výpočtu obvodu kružnice kolem centrálního tělesa. Jinými slovy, budeme se držet na konstantním \(r\), takže v metrice \eqref{4.22} bude tentokrát \(\text{d}r=0\), a protože vzdálenost měříme v nějakém konkrétním čase (v řeči relativity určujeme vzdálenost jako prostoročasový interval mezi dvěma událostmi současnými z hlediska souřadnicového času \(t\)), bude i \(\text{d}t=0\). Pro malý kousek obvodu \(o\) tedy dostáváme \begin{equation*} (\text{d}o)^2=r^2(\text{d}\varphi)^2\implies\text{d}o=r\,\text{d}\varphi. \end{equation*} Získat celý obvod pak znamená “posčítat” tyto malé kousky přes celý rozsah úhlové souřadnice \(\varphi\), tj. od \(0\) do \(2\pi\). Tento výpočet bude ve skutečnosti velmi lehký, protože jak postupně jdeme po kružnici, souřadnice \(r\) zůstává konstantní, takže se dá před integraci vytknout a my sčítáme opravdu jen malé kousky úhlu \(\text{d}\varphi\), čímž dostaneme plný úhel \(2\pi\). Podrobně rozepsán vypadá výpočet takto \begin{equation*} o=\int_{\text{kružnice}}\text{d}o=\int_0^{2\pi}r\,\text{d}\varphi=r∫_0^{2\pi}\text{d}\varphi=r\,2\pi=2\pi r. \end{equation*} Vyšel nám notoricky známý vztah pro obvod kružnice v eukleidovské geometrii, který můžeme zároveň chápat jako definici souřadnice \(r\). Význam souřadnice \(r\) (můžeme ji nazvat obvodovým poloměrem) je tedy dán obvodem pomyslné kružnice, na které se nacházíme, vyděleným \(2\pi\). Mimochodem, pokud bychom pracovali s celým prostorem a ne jen s rovinou, stejně tak by nám vyšlo, že povrch pomyslné sféry, na níž se v danou chvíli nacházíme, je \(4\pi r^2\).

Co se týče tečného směru, chová se souřadnice \(r\) celkem „klasicky“. To zajímavé ale nastane, pokud se pokusíme vyjádřit pomocí \(r\) skutečnou radiální vzdálenost. Dejme tomu, že máme značky na pevně zvolených hodnotách \(r_1\) a \(r_2\) o stejné úhlové souřadnici (tj. na stejné radiále \(\varphi=konst\)), přičemž předpokládejme čistě pro pořádek, že \(r_2>r_1\), a zároveň připomeňme, že se pohybujeme zatím vždy v oblasti, kde platí \(r>r_\text{S}\). Chtěli bychom změřit reálnou vzdálenost mezi značkami, označme si ji třeba \(Δl\). Je to vlastně stejná úloha, jako když jsme na sféře chtěli změřit vzdálenost mezi dvěma body, které se lišily třeba jen zeměpisnou šířkou.

Odpověď nám dá přesně naše metrika, která se pro tuto situaci opět výrazně zjednoduší, protože oba body mají stejnou úhlovou souřadnici, takže \(\text{d}\varphi=0\), a protože opět měříme čistě vzdálenost, bude i \(\text{d}t=0\). Jelikož je \(\text{d}t\) nula, představuje zbylá část metriky právě malý přírůstek hledané prostorové vzdálenosti. Označme si ji proto \(\text{d}l\): \begin{equation*}\tag{4.25}\label{4.25} (\text{d}s)_{prostor}^2\equiv(\text{d}l)^2=\frac{(\text{d}r)^2}{1-\frac{r_\text{S}}{r}}\iff \text{d}l=\frac{\text{d}r}{\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r}}}. \end{equation*} Pro pochopení tohoto vztahu je dobré si připomenout význam metrických koeficientů z kapitoly 4.2. Malá změna souřadnice o \(dr\) způsobí malé posunutí v radiální vzdálenosti \(\text{d}l\), přičemž podle \eqref{4.25} není jedno, kde se nacházíme – vztah závisí na hodnotě souřadnice \(r\). Protože platí \(r>r_\text{S}\), je výraz ve jmenovateli vždy menší než jedna a skutečné posunutí je tím pádem větší než \(\text{d}r\). Abychom určili hledanou vzdálenost mezi \(r_1\) a \(r_2\), budeme muset vztah \eqref{4.25} integrovat. Výsledek můžeme opět najít pomocí stránky Wolfram Alpha. Nejedná se o zrovna jednoduchý vztah, nicméně uveďme si ho aspoň pro představu. Skutečná vzdálenost mezi body o souřadnici \(r_1\) a \(r_2\) vychází jako \begin{equation*}\label{4.26}\tag{4.26} \Delta l = r_2\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_2}}+\frac{1}{2}r_\text{S}\ln{\left(\frac{1+\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_2}}}{1-\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_2}}}\right)}-r_1\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_1}}-\frac{1}{2}r_\text{S}\ln{\left(\frac{1+\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_1}}}{1-\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_1}}}\right)}. \end{equation*}

Nemusíte se děsit. Přímo počítat s tímto výrazem nebudeme. Jde nám spíš o to ukázat, že daný vztah existuje. Hlavně nám ale ukazuje, že souřadnice \(r\) opravdu nemá význam radiální vzdálenosti. Kdyby měla, vyšlo by nám jednoduše \(\Delta l\) rovno \(r_2-r_1\). Než abychom vztah \eqref{4.26} nějak komplikovaně zkoumali, pojďme do něj zkusit dosadit. Všimněme si, že kromě volby \(r_1\) a \(r_2\) závisí výsledek také na \(r_\text{S}\), tedy potažmo na hmotnosti centrálního gravitujícího tělesa. Abychom ale nemuseli situaci zkoumat pro mnoho různých nastavení hmotnosti, použijeme malého matematického triku, kdy budeme souřadnice \(r\) vyjadřovat jako násobky Schwarzschildova poloměru, např. \(r_1=10r_\text{S}\) apod. Nejen že se nám \(r_\text{S}\) pak zkrátí v odmocninách, ale výsledná vzdálenost \(\Delta l\) také vyjde jako násobek \(r_\text{S}\). Náš popis tak bude nezávislý na tom, v okolí jakého centrálního tělesa se zrovna nacházíme. Zkusme porovnat předpověď \eqref{4.26} s rozdílem radiálních souřadnic \(\Delta r=r_2-r_1\), což je tedy hodnota, kterou bychom očekávali, pokud by v gravitačním poli platila eukleidovská geometrie. Jediná mírná komplikace je, že výsledek závisí na volbě obou souřadnic, to znamená nejenom na jejich rozdílu, ale také kde naše měření začíná. Rozdělíme si proto srovnání na dvě situace. V tabulce 4.5 budeme nejprve udržovat konstantní rozestup souřadnic například \(\Delta r=3r_\text{S}\) a budeme měnit počáteční souřadnici \(r_1\) v násobcích \(r_\text{S}\) (v prvním řádku tabulky je tedy \(r_1=2r_\text{S}\) a \(r_2=5r_\text{S}\)). V pravém sloupci je spočítána relativní chyba, které bychom se dopustili, kdybychom zakřivení prostoru neuvažovali a předpokládali platnost hodnoty \(\Delta r\). Podobně tomu bude i v tabulce 4.6, kde budeme naopak držet konstantní počáteční souřadnici například \(r_1=2r_\text{S}\) a měnit \(r_2\), a tím i \(\Delta r\). Poznamenejme ještě, že reálně se dostat na tak malé násobky \(r_\text{S}\) by bylo možné jen u extrémně kompaktních objektů, jako jsou černé díry nebo velmi hmotné neutronové hvězdy. Tuto diskuzi si ale necháme na později.

Z první tabulky vyplývá, že zakřivení je tím silnější, čím jsme blíže, což nás jistě nepřekvapuje. Dalo se očekávat, že blíže centrálnímu tělesu, tj. v silnějším gravitačním poli, budou účinky na geometrii prostoru silnější a se zvětšující se vzdáleností se prostorové zakřivení stává méně výrazné, až někde dostatečně daleko bude prakticky neměřitelné. To samozřejmě platí pro všechny gravitační efekty, se vzdáleností od centrálního tělesa slábnou. Je to vlastně přímo vidět z metriky \eqref{4.22}, která pro \(r\) jdoucí do nekonečna přechází v plochou metriku \eqref{4.21}, protože zlomek \(2GM/c^2r\) jde k nule. Podobně ve druhé tabulce vidíme, že čím dál je koncová souřadnice, tím je také náš výsledek méně ovlivněn zakřivením, ale relativní odchylka neklesá tak rychle jako v prvním případě. To je dáno tím, že v našem výpočtu držíme \(r_1=2r_\text{S}\), takže blízká oblast největšího zakřivení je zahrnuta v každém z intervalů, ale pro delší vzdálenosti již tvoří menší část celku.

Je třeba upozornit, že zde nijak nepracujeme s reálným rozměrem gravitujícího tělesa. Stále platí, že má-li metrika \eqref{4.22} fungovat, musíme být mimo centrální těleso (ono taky ptát se, jak se budeme pohybovat či jak dopadnou naše měření uvnitř hvězdy či planety pro nás nemá moc význam). Zabýváme-li se tak např. radiální souřadnici \(r=2r_\text{S}\), automaticky zde předpokládáme, že daný objekt má bezpečně menší rozměry. Znamená to tedy, že pokud bychom chtěli naměřit silné zakřivení prostoru, museli bychom se dostat blízko velmi hmotných a zároveň kompaktních objektů. Například jak už víme, Schwarzschildův poloměr Slunce jsou necelé \(3\:\text{km}\), zatímco skutečný poloměr Slunce je zhruba \(696340\:\text{km}\), což odpovídá více jak \(232000\)krát násobku \(r_\text{S}\). I na povrchu Slunce je tak gravitační zakřivení prostoru miniaturní a rozdíl mezi radiální souřadnicí a reálnou vzdáleností zanedbatelný. Na povrchu Země jsme téměř \(709\) milionkrát dále než je Schwarzschildův poloměr Země, což také vysvětluje, proč nám eukleidovská geometrie tak dobře funguje. Je to podobné jako když jsme si ve speciální relativitě vysvětlovali, že dilataci času a kontrakci délek na Zemi běžně nepozorujeme, protože se nepohybujeme dostatečně rychle vůči rychlosti světla anebo neumíme měřit dostatečně přesně (většinou obojí). S gravitací je to podobné. Gravitační zakřivení prostoru máme šanci naměřit jen u velmi hmotných a zároveň kompaktních astronomických těles, jako jsou například neutronové hvězdy. Kupříkladu objekt s označením PSR J0740+6620, patřící mezi nejhmotnější známé neutronové hvězdy, je přibližně dvakrát hmotnější než Slunce, ale jeho poloměr je odhadován na \(13\:\text{km}\). Tj. něco málo více než dvojnásobek jeho \(r_\text{S}\). Ne nadarmo bývají neutronové hvězdy nazývány relativistické laboratoře, protože jsou ideálními objekty na proměřování a ověřování předpovědí obecné relativity. V tomto ohledu se o nich také ještě zmíníme.

Flammův paraboloid je z matematického hlediska relativně jednoduchá plocha, takže ji můžeme také vytisknout na 3D tiskárně, abychom s ní mohli pracovat podobně jako u zakřivených ploch dříve. Příklad vidíte na obrázku 4.38 vlevo. Úzký pruh papíru představuje geodetiku na ploše, tedy trajektorii volné částice. Její dráha je zakřivena čistě díky nenulové křivosti plochy. Všimněte si také, že na obrázku je paraboloid otočen otvorem vzhůru. To souvisí právě se znaménky \(±\) v rovnici \eqref{4.27}. Plochu můžeme používat obrácenou otvorem nahoru i dolů, ale vždy je třeba si daný pohyb představovat přímo v ploše, nikoli na ní – třebaže tvar paraboloidu svádí k použití jako trychtýř, do které bychom mohli hodit kuličku a nechat ji obíhat (o této aktivitě se ještě zmíníme). Na obrázku je celá situace zabrána kolmo, což je velmi důležité, protože připomeňme, že celou dobu zkoumáme pohyb v rovině, tedy dvourozměrnou situaci (třírozměrnou, pokud započítáme i čas). Vydutí roviny do třetího prostorového rozměru slouží pouze k vizualizaci jinak neviditelné geometrie ekvatoriální roviny. Názorněji to vidíme na obrázku 4.38 vpravo, kde je záběr z appletu, který si můžete sami vyzkoušet.

Obrázek 4.38 Vlevo: Model geodetiky na Flammově paraboloidu. Pohled shora připomíná, že na situace je třeba se dívat jako na dvourozměrnou, zakřivení plochy do třetího rozměru slouží pouze ke zviditelnění neeukleidovské geometrie ekvatoriální roviny. Připomeňme, že pro skutečný popis gravitace potřebujeme zakřivení prostoročasu, ale Flammův paraboloid zobrazuje pouze prostorové zakřivení (omezené na jednu rovinu). Je to tedy jen jednoduchý model, který má demonstrovat obecnější princip. Například na něm geodetiky nemohou vytvořit uzavřenou orbitu, jako to vidíme u planet.
Vpravo: Záběr z appletu demonstrujícího stejný princip.

Poznámka 4.10

V předchozí poznámce jsme se zmínili o vnitřím Schwazschildově řešení, které popisuje prostoročas uvnitř sféricky symetrického tělesa o konstantní hustotě. I pro něj je možné vytvořit diagram vnoření a sloučit ho s Flammovým paraboloidem. To je možné díky tomu, že obě řešení na sebe přesně navazují na povrchu tělesa. Doplněný diagram vidíme na obrázku.

Obrázek 4.39 Spojení diagramů vnoření pro vnější a vnitřní Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic. Pro lepší představu je zobrazeno i centrální těleso (například hvězda). Vidíme, že diagramy na sebe navazují na povrchu tělesa a žádný problém se souřadnicemi nenastává. Stále má ale význam uvažovat jen obíhání těles ve vnější části, protože dopadem na povrch tělesa by pravděpodobně došlo k jejich zničení.

Podobné obrázky jsou čtenáři jistě povědomé. Jedná se o nejčastější ilustraci spojovanou s obecnou teorií relativity či zakřivením prostoročasu. Stačí některé z podobných hesel zadat do vyhledavače obrázků a hned na nás vyskočí doslova stovky podobných vyobrazení. Podobně jako je třeba rovnice \(E=mc^2\) nejslavnějším reprezentantem speciální teorie relativity pro širokou veřejnost, jsou tyto diagramy ikonami obecné relativity (my jsme ho už také potkali na obrázku 4.22). Vedly také k často zmiňované analogii, že „prostoročas kolem hmotných těles je jako pružná látka, na kterou jsme položili těžké těleso, a látka se tím zdeformovala“. Tuto analogii může často vidět i jako praktickou demonstraci. Samozřejmě se jedná jen o model, který je sice velmi názorný a hravý, ale má celou řadu praktických nedostatků. Za prvé tvar prohnutí látky samozřejmě nemusí a pravděpodobně nikdy přesně neodpovídá rovnici \eqref{4.27}. Ale i kdyby se nám to podařilo, kuličky se nebudou pohybovat po geodetikách, protože na ně působí skutečná gravitace, kterou se ale v této demonstraci snažíme modelovat právě zakřivením plochy. A jsou tu i další důvody. Působí na ně tření a odpor vzduchu, nepohybují uvnitř plochy, ale na ní, a zároveň se kuličky po ploše valí, takže do hry vstupuje i jejich moment setrvačnosti – obecně se nechovají zcela jako hmotné body.

Na druhou stranu se této demonstraci nedá upřít její význam, protože se na ní dá mnoho jevů přibližně ukázat (jak je vidět například v odkazovaném videu) a zejména pro mladší studenty je celkem zajímavá (i když osobní zkušenost ukazuje, že pouštět kuličky do gravitační studny je zábava v každém věku). Zároveň se taková prohnutá plocha dá použít i jako demonstrace klasické gravitace. Dá se totiž ukázat (vizte odvození níže), že pokud bude mít plocha hyperbolický profil, tj. bude prohnutá jako funkce \(-k/r\), kde \(k\) je nějaká vhodně zvolená konstanta, bude na kuličky působit dostředivá síla úměrná \(1/r^2\), jako v klasické gravitaci. Vytvořit přesně hyperbolické zahnutí plochy pomocí pružné látky je samozřejmě také velmi obtížné až nereálné, takže skutečná deformace látky bude hyperbole pravděpodobně stejně vzdálená jako parabole. Proto se také prakticky stejná aktivita používá jak pro demonstraci gravitace v klasickém slova smyslu, tak relativistickém.

Kulička na ploše včetně působících sil \(\vec{F_\text{G}}\) a \(\vec{F_N}\) a jejich výslednice \(\vec{F}\). Tangens úhlu \(\beta\) je směrnice tečny k ploše, takže přímo derivace hledané funkce popisující tvar plochy.

Na obrázku vpravo máme nákres zobrazující kuličku na ploše včetně sil, které na ni působí. Jsou to tíhová síla \(\vec{F_\text{G}}\) svisle dolů, jejíž velikost standardně spočítáme jako \(F_\text{G}=mg\), kde \(m\) je hmotnost kuličky a \(g\) tíhové zrychlení. Na kuličku dále působí reakční síla plochy, označili jsme ji \(\vec{F_N}\) jako normálovou sílu (je totiž vždy kolmá na daný povrch, neboli má směr normály k povrchu). Požadujeme, aby jejich složením vznikla výsledná síla \(\vec{F}\), která bude mít dostředivý směr a její velikost bude ubývat se čtvercem vzdálenosti od středu, jako tomu je u gravitační síly v centrálním poli. Síly tvoří pravoúhlý trojúhelník, ve kterém platí \begin{equation*} \tan⁡{\alpha}=\frac{F_\text{G}}{F}\implies F=\frac{F_\text{G}}{\tan{\alpha}}=\frac{mg}{\tan{⁡α}}. \end{equation*} Abychom určili profil plochy jako průběh funkce \(z(r)\) (jejíž význam je podobný jako u diagramu vnoření), využijeme úhel \(\beta\), který svírá tečna k ploše v daném místě s vodorovným směrem. Tangens tohoto úhlu je tedy směrnicí tečny, a tím pádem derivací \(z^\prime(r)\) příslušné funkce v daném bodě. Z obrázku je vidět, že platí \(\alpha+\beta=90°\), takže \(\alpha=90°-\beta\). Dosadíme tedy za \(\alpha\), a s využitím vlastností goniometrických funkcí můžeme ukázat, že \begin{equation*} \tan{\alpha}=\tan{(90°-\beta)}=\frac{\sin{(90°-\beta)}}{\cos{(90°-\beta)}}= \frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}=\frac{1}{\tan{\beta}}=\frac{1}{z^\prime(r)}. \end{equation*} Dohromady dostáváme \(F=mgz^\prime(r)\). Dle našeho požadavku má být \(F\sim r^{-2}\), položme tedy \(z^\prime(r)=k/r^2\), kde \(k\) je nějaká konstanta. Ze znalosti pravidel derivace můžeme rovnou uhodnout, že řešením je hledaná funkce \(z(r)=-k/r.\)

Náš výsledek vám je možná povědomý, má totiž podobný tvar jako newtonovský gravitační potenciál \(-GM/r\), jemuž odpovídá gravitační potenciální energie v centrálním poli \(E_P=-mGM/r\). Pozor, jedná se o jinou situaci, než je notoricky známá potenciální energie v homogenním gravitačním poli \(E_P=mgh\), protože tento vzorec platí jen v případě, kdy gravitační zrychlení můžeme pokládat za konstantní. I pro klasický popis gravitace je ale pohyb kuliček po zakřivené ploše pouze kvalitativní model, který obecně přesně neodpovídá reálnému pohybu hmotných bodů v gravitačním poli.

Hlavním problémem diagramu vnoření a z něj vycházejících demonstrací je, že zobrazuje pouze prostorovou křivost, z podstaty věci neobsahuje žádnou informaci o čase. A jak už jsme viděli, k plnému popsání gravitace je zapotřebí zakřivení prostoročasu. Na Flammově paraboloidu například nenajdeme geodetiky reprezentující stabilní orbitu, což například u planet obíhajících Slunce jednoznačně pozorujeme. Podobně jako zeměpisné rovnoběžky nejsou geodetiky na sféře, křivky pro konstantní radiální souřadnici (tj. kružnice vzniklé kolmým řezem na osu \(z\)) totiž nejsou geodetiky Flammova paraboloidu (jak si můžete vyzkoušet sami pomocí reálného modelu nebo zmíněného appletu).

Důsledkem absence časové složky je, že umístíme-li na plochu pomyslně těleso s nulovou počáteční rychlostí, nemá se důvod začít hýbat. Opět nám tu nefunguje volný pád, protože se gravitaci snažíme reprezentovat přímo zakřivením plochy, ale to je pouze prostorové, nikoli prostoročasové. Do toho vstupuje další komplikace. V případě reálné demonstrace typicky používáme plochu jako trychtýř a vysílané kuličky jsou kromě zakřivení plochy ovlivňovány i skutečnou gravitací. Ta je tam ale navíc a dále vychyluje pohyb kuliček. Na druhou stranu, díky působení skutečné gravitace na našem modelu vlastně nakonec ukázka volného pádu funguje, protože kuličky přirozeně kloužou do středu plochy. Dá se tedy říci, že díky působení skutečné gravitace se posílání kuliček po ploše kvalitativně více blíží skutečnému pohybu ve sféricky symetrickém gravitačním poli, kde se podle OTR tělesa pohybují po geodetikách v prostoročase, než třeba když vizualizujeme geodetický pohyb na Flammově paraboloidu.

Viděli jsme způsob, jak můžeme vizualizovat prostorové zakřivení (byť zjednodušené do jedné roviny) předpovídané obecnou relativitou. Vizualizovat časovou část zakřivení, či lépe plné prostoročasové zakřivení je ale výrazně komplikovanější. Přesto jisté omezené možnosti existují. My to sice v našem povídání nebudeme dále potřebovat, ale trochu více se o této problematice můžete dozvědět v tomto videu. My se nyní podobně jako v předchozí kapitole po hrátkách s prostorovou křivostí podíváme na zoubek času.

Systémy globální satelitní navigace

Většina vědců nerada slyší, když se zeptáte, k čemu je to jejich zkoumání dobré. Richard Feynman, slavný fyzik 20. století údajně řekl, že „Fyzika je jako sex. Může přinést praktické výsledky, ale to není důvod, proč to děláme.“ Ať už s tímto bonmotem souhlasíte nebo ne, jeho poselství je asi jasné. Většina vědců zkoumá svůj obor, protože je zajímá, či ho považují za správnou cestu lidského bádání. Ne každý výzkum začne jako snaha vyřešit konkrétní problém a mnoho objevů bylo učiněno na základě čistého bádání. Přiznejme si, že dosud jsme si v našem textu neuvedli žádnou možnou odpověď na takovou všetečnou otázku o relativitě. Viděli jsme mnoho teoretických i experimentálních výsledků, ale nic využitelného v běžném životě. Nyní konečně přišla ta chvíle vytáhnout naše relativistické eso z rukávu.

Obrázek 4.40 Zjednodušený model fungování globálního satelitního navigačního systému.

Se satelitní navigací jste se již pravděpodobně setkali. Využíváme ji koneckonců všichni v našich chytrých telefonech, když chceme na mapě určit svou polohu. Způsobu, jakým telefony a jiná zařízení určují naši polohu, se někdy ne zcela správně říká GPS (z anglického Global Positioning System), ale to je ve skutečnosti název jen jednoho z několika existujících samostatných systémů. Americký GPS byl první, ale dnes existuje i ruský GLONASS, evropský Galileo nebo čínský BeiDou. Podpůrné či regionální systémy má i Japonsko (QZSS) a Indie (IRNSS). Komerční navigační zařízení ale často nejsou omezena na využívání jen jednoho z těchto systémů a běžný uživatel stejně typicky nepozná, který je jeho zařízením využíván. Souhrnně mluvíme o tzv. systémech globální satelitní navigace (GNSS – z anglického Global Navigation Satellite System, aby těch zkratek nebylo málo). Všechny jsou založeny na stejném principu. Sestávají z celé flotily satelitů obíhajících naši planetu. Každý ze satelitů má na palubě atomové hodiny a jeho úkolem je v pravidelných intervalech vysílat údaj o aktuálním čase a své poloze. Naše polohovací zařízení pak zachytí signály satelitů, které jsou „na dohled“, a z rozdílu časů mezi odesláním signálu a jeho přijetím, za předpokladu, že se signál pohybuje rychlostí světla, vypočítá vzdálenost, jakou se nacházíme od satelitu jednoduše jako \(\Delta s=c\Delta t\). Musíme se tím pádem nacházet někde na sféře o poloměru \(\Delta s\) se středem ve sdělené poloze satelitu. Abychom pak určili naši polohu, potřebujeme teoreticky informace alespoň ze tří satelitů (obrázek 4.40). Tyto tři sféry se sice mohou obecně protínat ve dvou různých bodech, ale přidá-li se informace o tom, že se nacházíme na Zemi a ne někde ve vesmíru (či na které polokouli se zrovna nacházíme), řešení je už jednoznačné. Alespoň teoreticky, prakticky jsou díky nejistotě měření vyžadovány informace z více satelitů, čímž se zvětšuje přesnost určení naší polohy. Tím ale komplikace nekončí, náš popis je samozřejmě jen velmi zjednodušenou verzí velmi sofistikovaného technického řešení. Nahlédneme-li do technicky orientovaných článků [viii,ix] či příslušné stránky Wikipedie, zjistíme, že skutečnost je daleko složitější a inženýři navrhující navigační systémy musí pracovat také s rotací Země, vlivem atmosféry na šíření signálu apod. Navíc, jak uvidíme později, pro určení polohy s přesností alespoň na metry by naše zařízení muselo umět měřit čas s přesností přinejmenším na desítky nanosekund. To ale naše mobilní a jiná navigační zařízení typicky nedokáží a musí jim být dodávána i časová informace. Máme tedy o jednu neznámou navíc, takže ve skutečnosti je vyžadován signál ne od tří ale minimálně od čtyř satelitů. My se samozřejmě do takových technických detailů pouštět nebudeme, ale je dobré si uvědomit, že skutečnost je o mnoho složitější než náš jednoduchý výklad.

Obrázek 4.41 Náčrtek k příkladu se systémem globální navigace. Stojíme na povrchu Země v oblasti rovníku, takže se pohybuje příslušnou obvodovou rychlostí země \(\vec{v}_\text{Z}\) a naše vzdálenost od středu je samozřejmě poloměr Země \(r_\text{Z}\). Podobně navigační satelit obíhá rychlostí \(\vec{v}_\text{G}\) na kruhové dráze o poloměru \(r_\text{G}\).

Asi už chápete, kde do hry vstupuje relativita. Už jen ze vztahu \eqref{4.28} plyne, že čas na oběžné dráze satelitů plyne jinak než nám na povrchu Země, což je problém, když využíváme rozdíly časů k měření vzdálenosti. Ukažme si nyní na jednoduchém výpočtu, jaké chyby bychom se s využitím navigace dopustili, pokud bychom neznali relativitu. Vezměme si zjednodušenou situaci, kdy stojíme na rovníku a chceme porovnat chod času na našich hodinách a na hodinách umístěných v satelitu navigačního systému Galileo, který kolem Země obíhá po přibližně kruhové dráze o poloměru \(r_\text{G}\) a rychlostí \(\vec{v_\text{G}}\) (obrázek 4.41). V tomto případě ale již jistě nemůžeme použít vzorec \eqref{4.28}, protože ani my, ani satelit nejsme statičtí pozorovatelé. Jedna možnost by byla pracovat v rotující soustavě Země, ve které bychom my na povrchu byli statičtí a museli bychom pracovat jen s pohybem satelitu. Tento postup s sebou ale nese technické komplikace jako nutnost přetransformovat se do rotující soustavy apod. Jednodušší bude pracovat v nerotující soustavě spojené se středem Země, kdy budeme považovat prostoročas kolem planety za schwarzschildovský a pracovat s pohybem nás i satelitu. Další zjednodušení plyne opět z faktu, že už na povrchu Země se pohybujeme mnohonásobně dále, než je příslušný Schwarzschildův poloměr Země (cca 9 mm). V tabulkách 4.5 a 4.6 jsme ukázali, jak relativní chyba, když souřadnici \(r\) přímo ztotožníme s radiální vzdáleností, silně klesá už pro tisícinásobek \(r_\text{S}\). Jak už jsme se zmiňovali, na rovníku jsme na radiální souřadnici přibližně \(r_\text{Z}=6378000\:\text{m}=7{,}2\cdot 10^8\:r_\text{S}\), deformační efekt gravitace je tedy velmi malý. Na orbitě satelitu systému Galileo, jejíž poloměr činí přibližně \(29600\:\text{km}\), to bude samozřejmě ještě méně. Můžeme si to ověřit přímým dosazením do vzorce \eqref{4.26} pro skutečnou radiální vzdálenost. Relativní chyba, pokud bychom vzdálenost mezi povrchem Země a oběžnou drahou satelitu vypočítali přímo jako rozdíl radiálních souřadnic, činí přibližně \(0{,}0000009\:\%\). Jistě tedy neuděláme velkou chybu, když budeme ve výpočtu přímo používat radiální vzdálenosti. Za těchto i několika dalších zjednodušujících předpokladů je možné odvodit pro porovnání plynutí času na Zemi a na oběžné dráze satelitu systému Galileo \begin{equation*}\label{4.29}\tag{4.29} \frac{\text{d}\tau_\text{Z}}{\text{d}\tau_\text{G}}=\frac{\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_\text{Z}} -\frac{v_\text{Z}^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_\text{G}}-\frac{v_\text{G}^2}{c^2}}}. \end{equation*}

Odvozený výraz není o moc složitější než ve statické situaci a hlavně poměrně hezky ilustruje oba zdroje dilatace času. Zatímco první dva členy pod odmocninami představují statickou situaci, kterou už známe, první a třetí člen nám zase dávají vzpomenout na speciální relativitu a výrazy typu \(\sqrt{1-v^2/c^2}\). Vidíme tak jednoduchou ilustraci toho, že obecná relativita v sobě tu speciální zahrnuje, není od ní oddělena, je spíš její nadmnožinou či zobecněním. Na rozdíl od pánů Hafeleho a Keatinga zde tedy nemusíme gravitační a kinematický příspěvky k dilataci času sčítat, ale máme přímo jeden vzorec (ale abychom si zase příliš nefandili, my jsme tento vzorec odvodili za velmi specifických zjednodušujících podmínek pohybu po kružnici, oni měli situaci výrazně komplikovanější).

Konečně můžeme do našeho vztahu dosadit. Respektive ho využijeme, abychom spočítali relativní odchylku časů uplynulých pro nás na povrchu Země a pro satelit: \begin{align*} \frac{\text{d}\tau_\text{G}-\text{d}\tau_\text{Z}}{\text{d}\tau_\text{G}}=1-\frac{\text{d}\tau_\text{Z}}{\text{d}\tau_\text{G}}=1-\frac{\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_\text{Z}}-\frac{v_\text{Z}^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r_\text{G}}-\frac{v_\text{G}^2}{c^2}}}=1-\frac{\sqrt{1-\frac{8{,}8\cdot10^{-3}}{6378\cdot10^3}-\frac{464^2}{9\cdot10^{16}}}}{\sqrt{1-\frac{8{,}8\cdot10^{-3}}{29600\cdot10^3}-\frac{3675^2}{9\cdot10^{16}}}}\dot{=}\:4{,}67\cdot10^{-10} \end{align*} Tento výsledek znamená, že zatímco hodinám v satelitu uplyne \(1\) sekunda, na Zemi nám uplyne o zhruba půl nanosekundy méně. Nezdá se to jako moc, ale je to již měřitelný rozdíl. Předně si ale musíme uvědomit, že tato nepřesnost se s každou sekundou kumuluje. Za celý den činí časový rozdíl asi \(40\) mikrosekund. Když si pak vzpomeneme, že navigační systém pomocí rozdílu časů vyslání a přijetí určuje naši vzdálenost od satelitu, odpovídá to přibližně chybě v určení vzdálenosti \(\Delta s=c\Delta t=3\cdot 10^8\cdot40\cdot 10^{-6}\:\text{m}=12000\:\text{m}\). Pokud bychom neznali relativitu, systém globální navigace by se za jeden den rozešel s realitou o \(12\:\text{km}\) při určování vzdálenosti od nás k satelitům, a tím pádem by vznikla chyba i v určení naší polohy. Relativistické efekty jsou tedy v okolí Země sice malé, ale satelitní navigační systémy musí měřit čas s takovou přesností, že se zde relativita již jasně projevuje.

Traduje se, že když byl ve Spojených státech v 70. letech minulého století vyvíjen systém GPS, byla sice už teorie relativity fyzikům známa, ale inženýři navrhující systém v ní neměli velkou důvěru. Proto byly sice do satelitů naprogramovány potřebné relativistické korekce, ale byly zpočátku vypnuty s možností je dálkově zapnout. Po úvodním spuštění začala přesnost systému postupně degradovat, což napravilo až zapnutí zabudovaných korekcí. Až se vás tedy někdy někdo zeptá, k čemu je ta relativita vlastně dobrá, zeptejte se jich na oplátku, kdy naposled používali mapy s globální navigací.

Pojďme se podívat na konkrétní data. V tabulce 4.8, převzaté z Wikipedie a následně upravené, je dole uvedena naměřená hodnota stočení trajektorie Merkuru přibližně \(574\) úhlových sekund za století. Uvědomme si, jak malá je to hodnota. Jeden úhlový stupeň dělíme na \(3600\) úhlových sekund, takže se jedná o stočení přibližně o \(1/7\) stupně za \(100\) let. Je až neuvěřitelné, s jakou přesností musela být tato pozorování provedena. V tabulce je také vypsáno několik různých jevů přispívajících ke stáčení Merkuru a teoretické předpovědi jejich velikosti.

Z tabulky vidíme, že klasická teorie gravitace dokáže díky působení dalších těles vysvětlit téměř \(93 \%\) stáčení. Jsou zde uvedeny i další minoritní jevy související s ne zcela kulovým tvarem Slunce a jeho rotací (tedy jevy nad rámec Schwarzschildova řešení), jejich vliv je ale relativně malý. Pro nás je důležitý další řádek. Ukazuje se totiž, že obíhá-li těleso ve Schwarzschildově prostoročasu, efekt stáčení orbity je přítomen rovnou. V [5] můžeme najít odvození přibližného vztahu pro úhel stočení trajektorie planety po jednom oběhu: \begin{equation*}\label{4.30}\tag{4.30} \Delta\varphi=\frac{6\pi GM}{c^2a\left(1-e^2\right)}, \end{equation*} kde \(a\) je tzv. hlavní poloosa a \(e\) numerická excentricita, což jsou dva z geometrických parametrů popisujících elipsu a pro každou planetu naší soustavy jsou dobře známy. I když jejich přesný význam není pro nás tolik podstatný, pro lepší představu ho můžeme vidět na obrázku 4.44, který jsme si vypůjčili z Wikipedie.

Obrázek 4.44 Nahoře: Parametry popisující elipsu. Hlavní poloosa \(a\) je polovina delšího rozměru elipsy, numerická excentricita \(e\) je poměr vzdálenosti ohnisek od středu a hlavní poloosy. Pro elipsy platí \(e\lt 1\) a v případě, kdy se rovná \(0\), dostáváme kružnici.

Zkusme nyní do vztahu dosadit pro Merkur. Jeho orbitální parametry můžeme snadno najít a význam ostatních konstant již známe. \begin{equation*} \Delta\varphi=\frac{6\pi\:6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}989\cdot10^{30}}{9\cdot10^{16}\:57{,}909\cdot10^9\left(1-0{,}2056^2\right)}\dot{=}\:5{,}02\cdot10^{-7}. \end{equation*} Vyšlé číslo nám patrně nic neříká. Musíme si totiž uvědomit, co jsme vypočítali. Stočení perihelia Merkuru za jeden jeho oběh v radiánech. Abychom náš výsledek mohli porovnat s hodnotou v tabulce 4.8, budeme ho muset trochu upravit. Předně ho musíme vydělit periodou oběhu Merkuru, která činí přibližně \(87{,}97\) dne. Tím dostaneme úhlové posunutí za jeden den, odtud už snadno převedeme na posunutí za sto let. V poslední řadě převedeme výsledek na úhlové sekundy. Abychom dostali stupně, musíme hodnotu vydělit \(\pi\) a vynásobit \(180\). Úhlové sekundy pak dostaneme finálním vynásobením \(3600^{\prime\prime}\). Celkem tedy \begin{equation*} \Delta\varphi(\:{}^{\prime\prime}\:\text{za}\:100\:\text{let})=\frac{5{,}02\cdot10^{-7}\cdot365{,}25\cdot100\cdot180\cdot3600^{\prime\prime}}{87{,}97\pi}=42{,}99^{\prime\prime}. \end{equation*} Náš výsledek se neshoduje zcela přesně s hodnotou z tabulky díky použití zaokrouhlených hodnot konstant, ale je mu dostatečně podobný na to, abychom mohli výpočet považovat za správný. Když byla díky obecné relativitě správně předpovězena velikost chybějícího dílu stáčení dráhy Merkuru, znamenalo to definitivní konec pátrání po Vulkánu. Zároveň se jedná o jeden z prvních, dnes nazývaných klasických, testů OTR. Jedná se o vysvětlení tří jevů v naší sluneční soustavě, která navrhl jako testy své teorie Einstein v roce 1916. Vlastně jsme už jeden potkali, byl jím gravitační rudý posuv. Třetím je potom ohyb světelných paprsků v gravitačním poli, kterým se budeme zabývat v další podkapitole.

Merkur samozřejmě není jediná planeta, jejíž trajektorie se stáčí. Podobný efekt, byť slabší, je dnes změřen i u ostatních planet včetně Země, ale i těles mimo naši soustavu. Příkladem je binární systém pulzarů (rychle rotujících neutronových hvězd) PSR 1913+16. Ten byl objeven v roce 1974 a za tento objev a jeho následné zkoumání byla udělena i Nobelova cena za fyziku. Jedná se totiž o první objevený astronomický systém, pomocí něhož lze zkoumat gravitaci za výrazně extrémnějších podmínek, než v naší soustavě. Protože se jedná o systém dvou podobně hmotných těles, obíhají kolem společného těžiště, každé po své eliptické dráze. Pulzary ale své elipsy stáčí, a to výrazně silněji než u Merkuru - \(4{,}2°\) za rok (tj. více jak \(35 000\) krát více), což se velmi dobře shoduje s relativistickou předpovědí.

Princip ekvivalence tedy předpovídá, že směr šíření světla je v gravitačním poli ovlivněn. Stejně tak to předpovídá obecná teorie relativity, která z principu ekvivalence vychází. Konec konců, pokud je gravitace zakřivením prostoročasu, mělo by toto zakřivení ovlivnit trajektorii čehokoli, i světla. Netvrdíme ale, že světlo se v gravitačním poli zakřiví po stejné trajektorii jako třeba planeta. Už jenom proto, že účinek zakřivení geometrie prostoročasu sice nezávisí na hmotnosti daného tělesa, závisí ale na jeho rychlosti (můžeme si to představit tak, že trajektorie rychlejších těles se stihne zakřivit méně).

Jak už bylo zmíněno, zakřivení světelných paprsků v gravitačním poli je jedním z klasických testů OTR. Otázkou je, jak toto zakřivení otestovat. Je potřeba velmi silného gravitačního pole, aby se zakřivení mohlo dostatečně projevit. Místo s nejsilnějším gravitačním polem v naší soustavě, kudy zároveň může procházet světelný paprsek, je těsně při povrchu Slunce. Čistě teoreticky bychom tedy mohli ohyb paprsků pozorovat na poloze hvězd na nebi v momentě, když se nachází v těsné blízkosti slunečního kotouče. Problém je samozřejmě v tom, že v tomto okamžiku slunce naprosto přesvětlí okolní hvězdy (díváme-li se z povrchu Země na Slunce, musí být zcela jistě den). Řešením je pozorování provádět při úplném zatmění Slunce. Základní myšlenka takového experimentu je znázorněna na obrázku 4.46.

Obrázek 4.46 Nahoře: Pohled na místo na obloze v noci bez přítomnosti slunečního kotouče (1) a pohled na totéž místo v okamžiku úplného zatmění (2). Dochází-li k ohybu světelných paprsků v blízkosti slunečního povrchu, mělo by dojít ke zdánlivé změně polohy hvězd na obloze.
Dole: Průchod světelných paprsků přicházejících od vzdálených hvězd bez přítomnosti Slunce (3) a s ním (4). Ohyb paprsku směrem ke Slunci způsobí, že nové polohy hvězd na nebi jsou oproti svým původním polohám dál od překrytého slunečního kotouče o nějaký úhel \(\varphi\).

Protože astronomové dokáží poměrně přesně předpovídat časy zatmění i místa na Zemi, ze kterých bude možné vidět zatmění úplné (tj. že slunce bude na nebi zcela překryto), bylo na začátku 20. století možné předem naplánovat expedice, které měli za úkol proměřit, zda k ohybu světla opravdu dochází. Již jsme se zmínili, že za určitých předpokladů je možné odvodit ohyb světla i klasicky, ale tato předpověď se od té relativistické liší. Ze Schwarzschildovy metriky je možné odvodit vzorec pro velikost úhlu ohnutí paprsku, když prochází těsně při povrchu Slunce. Odvození, které je možné najít například v [5], zde pro jeho matematickou komplikovanost provádět nebudeme. Úhel ohybu světelného paprsku vychází \begin{equation*}\tag{4.32}\label{4.32} \varphi=\frac{4GM}{c^2R}. \end{equation*} V našem případě dosadíme za \(R\) poloměr Slunce, který činí podle NASA \(695700\:\text{km}\). Když dosadíme i všechny konstanty, dostáváme výsledek přibližně \(1{,}7\:^{"}\) (tj. úhlové sekundy, nezapomeňme, že úhel automaticky vychází v radiánech, takže je třeba výsledek převést na stupně a následně sekundy). To je sice velmi malý úhel z hlediska běžného života, ale pro astronomy je to měřitelná hodnota. Je zajímavé, že klasická předpověď vychází přesně poloviční, a to je právě to důležité na tomto experimentu, protože nám umožňuje nejenom zjistit, zda k ohybu světla dochází, ale pokud ano, může také rozlišit, která z teorií dává správnou předpověď (i když samozřejmě by nemusela mít pravdu ani jedna z nich). Pokud bychom do stejného vzorce dosadili data pro Jupiter, tj. druhý největší zdroj gravitace v naší soustavě, dostaneme výsledek přibližně \(0{,}017 "\), tedy shodou okolností stokrát menší než v případě Slunce. K pozorování u Jupiteru bychom tak sice nepotřebovali zatmění, ale případné hodnoty jsou výrazně hůře měřitelné. Mimochodem, dnes už byl naměřen ohyb světelných paprsků procházejících v blízkosti Jupiteru i dalších planet, ale to už trochu předbíháme. Zůstaňme ještě u historie.

Účinky gravitačního pole na světelný paprsek si můžeme ukázat i přímo díky počítačové simulaci, jejíž výsledky shrnuje obrázek 4.48. Je asi jasné, že k výraznému ovlivnění dráhy světelného paprsku musí docházet až v silném gravitačním poli, tedy v místech, největšího zakřivení prostoročasu. V řeči Schwarzschildovy metriky to znamená na co nejmenší možné radiální souřadnici. Na obrázcích vidíme vykreslení drah několika paprsků, které prochází velmi blízko Schwarzschildově poloměru \(r_\text{S}\). To ale znamená, že centrální těleso by muselo být nějaký velice kompaktní objekt, jehož rozměry jsou srovnatelné s příslušným \(r_\text{S}\) (jak už bylo zmíněno, takové objekty jsou například neutronové hvězdy). Na pravém grafu je také vidět, co by se stalo, kdyby paprsek prolétal blíže, než je příslušný \(r_\text{S}\). Světlo je v takovém případě staženo do centra a již nemůže uniknout. Dotýkáme se zde tedy již tématu černých děr, jejichž „rozměry“ jsou určeny právě okolní oblastí, ze které světlo nemůže uniknout, takže Schwarzschildovým poloměrem. Nejsilnější ohyby světla nastávají právě v okolí černých děr, a jak uvidíme, jedná se o typický znak, podle kterého je možné černé díry pozorovat. Prozatím ale nechme skutečnou povahu centrálního tělesa stranou.

Obrázek 4.48 Dráhy světelných paprsků získané z numerické simulace. Každý paprsek je označen nejmenší radiální souřadnicí, které při svém průletu dosáhne. Pro jednoduchost zde napodobujeme polární souřadnice \(x=r\cos{⁡\varphi}\) a \(y=r\sin{⁡\varphi}\), čímž nedostáváme striktně vzato skutečné vzdálenosti v zakřiveném prostoročase, ale pro naši představu je to dostačující. „Vzdálenosti“ jsou vykresleny v násobcích Schwarzschildova poloměru.

Na pravé straně obrázku vidíme také velmi zajímavou situaci, kdy světlo může i obíhat kolem centrálního tělesa. Z teoretických výpočtů plyne, že na radiální souřadnici rovné \(1{,}5\:r_\text{S}\) existuje pro světlo tzv. nestabilní kruhová orbita. Slovo nestabilní v tomto případě znamená, že není možné, aby zde paprsek obíhal trvale jak planeta kolem hvězdy, dříve či později paprsek buď odletí do nekonečna, anebo „spadne“ na černou díru. Abychom situaci lépe pochopili, demonstrujme si nestabilitu na jiném příkladu. Představme si třeba, že bychom chtěli postavit vejce na špičku. Teoreticky je možné vybalancovat vejce tak, aby stálo na špičce, ale kromě toho, že je to velmi náročné na provedení, jedná se z fyzikálního hlediska o tzv. nestabilní rovnovážnou polohu, protože stačí sebemenší narušení této rovnováhy na jakoukoli stranu a vejce ze špičky spadne. Podobně i paprsek, který by se náhodou dostal na tuto kruhovou dráhu, neustále pomyslně balancuje na ostří nože, a je jen otázkou času, než se vychýlí na jednu nebo na druhou stranu. Do té doby ale může centrální těleso oběhnout i několikrát dokola.

V této a několika předcházejících podkapitolách jsme se zabývali experimentální stránkou věci. Jakkoli se může zdát obecná teorie relativity zajímavou či krásnou, jako vědecká teorie musí být schopna dávat předpovědi, které je pak možné reálně otestovat. A to se OTR již více jak sto let daří takřka na výbornou. Zmínili jsme tzv. klasické testy OTR, tj. gravitační rudý posuv, stáčení perihelia Merkuru a ohyb světla. Nazývají se klasické ne ve spojitosti s klasickou fyzikou, ale spíše proto, že jsou tyto experimenty dnes již „klasikou“, mají své pevné místo v historii fyziky i v začátcích studia relativity. Nemohly tak chybět ani v tomto textu. Nepatří ale čistě do historie, protože jak jsme se zmínili, jsou neustále opakovány a zpřesňovány. Práce experimentálních fyziků není nikdy u konce, protože nikdy si neřekneme, že tohle už stačí, že už víme dost.

Viděli jsme i některé modernější experimenty, Hafeleův-Keatingův, Gravity Probe B a jiné. A je ještě celá řada experimentů a jevů spojených s obecnou relativitou, které jsme nezmínili. Naším cílem zde není ani tak podat vyčerpávající seznam experimentů, ale ukázat, že na té obecné relativitě něco bude, protože ty zvláštní věci, které předpovídá, se opravdu dějí. A není zvláštnější předpovědi OTR, než jsou černé díry.

Shrňme si nyní, co už na téma černých děr víme z hlediska relativity. První náznak přišel už se Schwarzschildovou metrikou \eqref{4.22}. Ta v sobě obsahuje výraz \(1-2GM/c^2r\) ve dvou metrických koeficientech, z toho u jednoho ve jmenovateli. Čistě z matematického hlediska je tedy zřejmé, že rovná-li se radiální souřadnice Schwarzschildovu poloměru, tj. \(2GM/c^2\), nastává problém. Podobný problém nastává i pro \(r=0\). Hovoříme o tzv. singularitách, ale jak si za chvilku ukážeme, nejedná se o singularity stejného typu. U ohybu světla jsme také viděli, že světelný paprsek, který vstoupil do oblasti dané \(r_\text{S}\), z ní již nevystoupil. Hranici vytyčené Schwarzschildovým poloměrem se proto také říká horizont událostí, protože za něj, stejně jako u běžného zemského horizontu, „nevidíme“ – ani světlo a tím pádem ani žádná jiná informace se nám nevrátí zpět (a událostí proto, že ohraničuje nejen část prostoru, ale prostoročasu, který je, jak už víme, tvořen událostmi podobně jako prostor je tvořen body).

Ukažme si nyní, co vše nám Schwarzschildova metrika dokáže říci o těchto singularitách. Prozatím tedy předpokládejme, že existuje tak husté těleso, že je menší než jeho Schwarzschildův poloměr. Tím pádem je prakticky možné se na tuto hodnotu souřadnice dostat. Začněme tím, že směrem k tělesu vyšleme radiálním směrem světelný paprsek. Když jsme se ve třetí části bavili o prostoročasovém intervalu, ukázali jsme, že pro světlo je interval vždy nulový. To zůstává pravda i v obecné relativitě. Zároveň díky čistě radiálnímu směru pro paprsek platí \(\text{d}\varphi=0\). Metrika se tedy zjednoduší na \begin{equation*} (\text{d}s)^2=-\left(1-\frac{r_\text{S}}{r}\right)c^2(\text{d}t)^2+\frac{(\text{d}r)^2}{1-\frac{r_\text{S}}{r}}=0. \end{equation*} Nyní můžeme vyjádřit poměr dr/dt, což odpovídá změně radiální souřadnice podle souřadnicového času, takže tzv. souřadnicové rychlosti: \begin{equation*}\tag{4.34}\label{4.34} \frac{(\text{d}r)^2}{(\text{d}t)^2} =\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\right)^2=c^2\left(1-\frac{r_\text{S}}{r}\right)^2\implies \frac{\text{d}r}{\text{d}t}=±c\left(1-\frac{r_\text{S}}{r}\right). \end{equation*} Znaménko plus odpovídá paprsku letícímu směrem od středu, nás tedy zajímá řešení s mínusem. Dostali jsme zvláštní výsledek, že souřadnicová rychlost světla není rovna vždy \(c\), ale pro jakoukoli konečnou souřadnici \(r\) je menší. To se zdá být v rozporu se speciální relativitou, ale ta mluví o neměnnosti rychlosti světla pouze v inerciálních soustavách a ty můžeme v gravitačním poli realizovat pouze lokálně pomocí volného pádu. Připomeňme, že souřadnicový čas má fyzikální význam vlastního času pozorovatele v nekonečnu (hodně daleko mimo efektivní dosah gravitačního pole), podle našeho výsledku se tedy bude pro vzdáleného pozorovatele světelný signál v gravitačním poli zpomalovat. Tomuto jevu se říká Shapirův efekt. Byl předpovězen americkým astrofyzikem Irwinem Shapirem v roce 1964 o několik let později i experimentálně potvrzen pomocí radarových signálů, které byly vyslány ze Země a odraženy od Venuše a Merkuru. Signály byly vyslány ve dvou různých situacích. Nejprve aby na své cestě ke každé z planet prošly v těsné blízkosti Slunce, tj. co nejsilnějším gravitačním polem. Čas, za který se signál vrátil, byl poté porovnán s časem návratu signálu vyslaného tehdy, kdy na cestě k planetám a zpět prošel ve větší vzdálenosti od Slunce (ve skutečnosti bylo vyslaných a porovnávaných signálů v experimentu mnoho, ale princip je v zásadě podobný). Obecná relativita předpovídá, že elektromagnetický signál bude v tomto experimentu zpožděn řádově o stovky mikrosekund, což je přesnost, se kterou bylo v 70. letech minulého století již možné pracovat. Výsledek experimentu (a i dalších později zopakovaných) byl pochopitelně v souladu s teorií a dnes je Shapirův efekt často označován jako čtvrtý klasický experiment obecné relativity.

Nenechme se ale zmást. Shapirův jev není způsoben skutečným zpomalením světla v gravitačním poli. Je přímým důsledkem gravitační dilatace času a deformace prostoru. Už víme, že vzdálenému pozorovateli plyne čas rychleji, než blíže k centrálnímu tělesu, a zatímco souřadnice \(r\) je pro vzdáleného pozorovatele tam u něj prakticky totéž co radiální vzdálenost, v silnějším gravitačním poli to neplatí. Představme si, že stojíme na nějaké konkrétní hodnotě radiální souřadnice a radiálně vyslaný světelný signál proletí kolem nás. Jakou rychlost mu naměříme? Stačí si vzpomenout na vztahy \eqref{4.24} a \eqref{4.25}, podle kterých pro malé přírůstky našeho vlastního času \(\tau\) a reálně naměřené radiální vzdálenosti \(l\) platí \(\text{d}\tau=\text{d}t\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r}}\) a \(\text{d}l=\frac{\text{d}r}{\sqrt{1-\frac{r_\text{S}}{r}}}\). Námi změřená rychlost paprsku tedy bude \begin{equation*} \frac{\text{d}l}{\text{d}\tau}=\frac{\frac{\text{d}r}{\sqrt{1-r_\text{S}/r}}}{\text{d}t\sqrt{1-r_\text{S}/r}}=\frac{1}{\left(1-\frac{r_\text{S}}{r}\right)}\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=-\frac{1}{\left(1-\frac{r_\text{S}}{r}\right)}\left(1-\frac{r_\text{S}}{r}\right)c=-c. \end{equation*} V libovolném místě gravitačního pole tedy naměříme skutečně rychlost světla rovnou \(c\), jak bychom čekali.

Vraťme se nyní ke vztahu \eqref{4.34}. Pokud do něj dosadíme \(r=r_\text{S}\), dostáváme nulu. Pro vzdáleného pozorovatele by se tedy měl světelný paprsek na Schwarzschildově poloměru zdánlivě zastavit. To se jistě zdá zvláštní. Navíc i proto, že v numerické simulaci chodu paprsku v předcházející kapitole jsme viděli, jak paprsek horizontem událostí projít může. Čím je tento rozpor způsoben? Než na tuto otázku odpovíme, podívejme se ještě, jak se při pádu do černé díry chová hmotné těleso.

Ze všeho, co jsme zatím řekli, zejména z faktu, že (slapové síly stranou) sonda bez problému projde horizontem, plyne, že singularita \(r=r_\text{S}\) ve Schwarzschildově metrice není fyzikálního charakteru. Nejedná se o oblast s nekonečnou křivostí nebo podobně zvláštním chováním, při průchodu horizontem byste neprožili žádnou zvláštní změnu, ani byste si nevšimli, že jste právě vstoupili do oblasti, ze které není návratu. Neunikne z ní světlo a neuniknete z ní ani vy. Přesto ale naše matematika ve Schwarzschildově metrice pro \(r=r_\text{S}\) selhává a měli bychom si vysvětlit proč. Jedná se totiž o tzv. souřadnicovou singularitu. Jedná se o bod či oblast, kde dané souřadnice selhávají ne z nějakého objektivního a realitou podloženého důvodu, ale čistě jako důsledek své definice. Například se s něčím takovým můžeme potkat na povrchu koule při použití sférických souřadnic. Vzpomeňme si, že na sféře jsme zavedli metriku pomocí úhlových souřadnic \(\theta\) a \(\varphi\) jako \((\text{d}s)^2=r^2(\text{d}\theta)^2+r^2\sin^2{⁡\theta} (\text{d}\varphi)^2\). Pokud bychom ale chtěli například počítat vzdálenost mezi dvěma body vedoucí přes „severní pól“, pro nějž je \(\theta=0\), tak máme problém, protože druhý metrický koeficient je tam díky funkci sinus automaticky nulový. Zároveň jsou souřadnice severního pólu nejednoznačně určeny, protože není jasné, jakou souřadnici \(\varphi\) („zeměpisnou délku“) mu přiřadit. Tyto komplikace nevznikly proto, že by se zde geometrie sféry chovala nějak jinak než na zbytku plochy, je to čistě vlastnost použitých souřadnic, které dobře fungují všude jinde kromě pólů (na jižním pólu jsme v obdobné situaci). Pokud bychom chtěli pomocí metriky proměřovat vzdálenosti v okolí pólu, je třeba vybrat jiné souřadnice nebo aspoň tyto pootočit, aby byl „pól“ někde jinde. Podobné je to i u polárních souřadnic v rovině. Tam byla každému bodu přiřazena vzdálenost od počátku \(r\) a úhel \(\varphi\) vzhledem k vybrané ose, metrika pak byla \((\text{d}s)^2=(\text{d}r)^2+r^2(\text{d}\varphi)^2\). Zde nám dělá problém počátek souřadnic, jednak je pro něj \(r=0\) (čili opět problém s metrickým koeficientem v počátku) a podobně jako v předchozím není jasné, jakou hodnotu souřadnice \(\varphi\) mu přidělit. Kdekoli mimo počátek ale nemáme problém. U křivočarých souřadnic je toto chování mimochodem poměrně časté. Důsledkem jejich zavedení může být, že pro některé body či množiny bodů nefungují (tj. nedávají rozumné výsledky). Ve výsledku nám to ale nemusí vadit, stačí, když pracujeme jen s oblastí, kde fungují dobře.

Selhání Schwarzschildovy metriky na horizontu tedy není z fyzikálního důvodu, ale je dáno vlastnostmi použitých souřadnic. Při popisu souřadnic \(r\) a \(t\) jsme si ukazovali, že se dají dobře interpretovat vzhledem k pozorovateli stojícímu v nekonečnu (jeho vlastní čas a jím měřené vzdálenosti tam hodně daleko). Už jsme si ale rozmysleli, že právě tento pohled nefunguje v oblasti horizontu příliš dobře. Například čas padající sondy se na horizontu z pohledu vzdáleného pozorovatele podle \eqref{4.36} zastaví. Ne proto, že by se sondě doopravdy zastavil čas, ale zakřivení prostoročasu a zejména jeho efekt na světlo jsou zde natolik silné, že naše vnější měření přestává zcela odpovídat realitě. Singulární chování metriky na horizontu je toho matematickým důsledkem. Dodejme, že existuje mnoho jiných souřadnicových systémů používaných ve Schwarzschildově prostoročasu, které tento neduh nemají, na druhou stranu mohou být o poznání těžší na pochopení a nebudeme je zde potřebovat, takže se jimi nebudeme zabývat. Zájemci si mohou vyhledat např. Kruskalovy-Szerekesovy nebo Eddingtonovy-Finkelsteinovy souřadnice.

Možná vás napadá otázka, jak taková černá díra vypadá, ale v tom spočívá ta potíž. Jak to zjistit? Černá díra nevydává světlo, a i kdybychom do ní vypustili sondu, ta nám zpod horizontu nemá jak podat zprávu. Z toho důvodu je pro nás definujícím faktorem pro černou díru právě její Schwarzschildův poloměr (závisející na její hmotnosti). Černá díra je pro nás tedy prakticky víc oblastí ohraničenou jednocestnou „membránou“ než reálným objektem, který se skrývá pod ní a o kterém zatím nevíme prakticky nic. Libovolné těleso může překonat horizont událostí (i když už třeba ne v celku) a tím vstoupit do černé díry. Uvnitř horizontu již není možné ani stát na místě, a těleso tak nezadržitelně padá až do samého středu souřadnic, na druhý problematický bod \(r=0\). I ten způsobuje v metrice tohoto prostoročasu problém a tento problém sdílí i všechny ostatní možné používané souřadnice. Zdá se, že tady se děje něco zajímavějšího než je souřadnicová singularita.

Přestavme si kolabující jádro dostatečně hmotné hvězdy, jak je gravitací veškerá hmota stlačována do čím dál menšího prostoru, a to natolik silně, že ani vzájemné odpuzování částic nestačí na zastavení kolapsu. Průměrná hustota přerůstá i hustotu atomových jader a zakřivení okolního prostoročasu narůstá čím dál víc. V jednu chvíli je veškerá hmota stlačena pod příslušný Schwarzschildův poloměr, a tím je okolní prostoročas natolik zakřiven, že nemůže uniknout ani světlo. Z našeho pohledu z vnějšku vznikla černá díra. Co se ale děje uvnitř? Podle předpovědi obecné relativity, všechna hmota dále padá až na \(r=0\), není nic, co by ji zastavilo. To by ale znamenalo, že vzniká objekt s nulovým objemem a tedy nekonečně velkou hustotou. Bez důkazu také uveďme, že na \(r=0\) vychází i nekonečně velká prostoročasová křivost a nekonečně velké slapové síly. Narážíme na opravdovou fyzikální singularitu, bod, kde samotné fyzikální předpovědi přestávají dávat smysl. Prakticky v každé fyzikální teorii jsou nekonečna, která nedokážeme odstranit vhodnou změnou souřadnic, nahlížena jako nežádoucí a často bývají argumentem pro nedokonalost dané teorie. Konec konců, nekonečno je užitečný matematický nástroj, ale může být ve skutečnosti něco doopravdy nekonečné? Z toho důvodu si myslíme, že předpověď fyzikální singularity uvnitř černých děr poukazuje na limity obecné teorie relativity. Po celou dobu našeho textu představujeme OTR jako nástupce klasické teorie gravitace, složitější, ale přesnější teorii lépe vypovídající o povaze světa. Nikde jsme ale netvrdili, že je OTR finální teorií (což si ostatně nemůže nárokovat žádná současná vědecká teorie a je otázkou – v zásadě filozofickou – zda tomu tak někdy v budoucnu může být).

Dvě velké fyzikální teorie dvacátého století jsou obecná relativita a kvantová mechanika. Jedna se zabývá zejména gravitací, tedy typicky fyzikou velkých těles, druhá popisuje svět na té nejmenší úrovni. A jejich přístupy, matematický popis a aplikace jsou tím pádem výrazně odlišné. Natolik, že si tyto dvě teorie odporují již v některých základních předpokladech. Přesto, anebo možná právě proto, se je snaží fyzikové již několik desetiletí spojit dohromady či spíše zastřešit nějakou sjednocující teorií (tzv. teorie kvantové gravitace). Proč by taky měla být fyzika velmi malého zásadně odlišná od fyziky velmi velkého? Nebylo by krásné mít jednu ucelenou fyzikální teorii, která by sice pro různé situace dávala různé předpovědi, ale byla založena na jednotné sadě principů a fyzikálních zákonů? Minimálně pro fyziky to krásná představa je. Přesto ale na sjednocení teorie gravitace a kvantové mechaniky čekáme již desítky let. Proč o tom ale mluvíme? Vcelku rozumnou odpovědí na problém fyzikální singularity uvnitř černých děr je právě to, že díky obrovskému stlačení hmoty do mikroskopických rozměrů se zde chtě nechtě pohybujeme už na pomezí nebo zcela v říši kvantové fyziky. Je pravděpodobné, že se při takových hustotách látky uplatňuje nějaký dosud neobjevený kvantový efekt, který OTR neobsahuje a tím pádem v této situaci nedává rozumné výsledky. Jako většina fyzikálních teorií má její platnost své hranice a toto je jedna z nich.

Abychom to ilustrovali, můžeme zavzpomínat například na stavovou rovnici ideálního plynu, kterou potkáme na střední škole. Ta svazuje dohromady veličiny popisující stav plynu jako je tlak \(p\), objem \(V\), termodynamická teplota \(T\) a počet částic \(N\) pomocí rovnice \(pV=Nk_BT\), kde \(k_B\) je pro nás v tuto chvíli nedůležitá experimentální konstanta. Všimněme si, že pokud bychom podle této rovnice udržovali plyn na konstantním tlaku a snižovali jeho teplotu do nuly, dostáváme nulový objem, tedy opět nekonečně velkou hustotu. My samozřejmě dobře víme, že něco takového není reálně možné, už třeba proto, že při snižování teploty plyn dříve či později zkapalní, případně dále ještě ztuhne na pevnou látku a objeví se nové efekty, které smršťování zabrání. Stavová rovnice ideálního plynu tedy není obecně platnou, ale přesto jí s úspěchem používáme pro různé plyny, akorát to musí být pro takové teploty a tlaky, kdy to dává smysl (například okolo atmosférického tlaku a pokojové teploty). Jsme si vědomi mezí platnosti dané teorie a je třeba je respektovat.

Umíme tedy docela dobře popsat gravitační působení vně černých děr, a to nejen sféricky symetrických a nerotujících, kterým se věnujeme zde, ale jak už bylo řečeno, i složitějších rotujících či elektricky nabitých (příslušné prostoročasy jsou už pro nás z matematického hlediska opravdu příliš komplikované). OTR nám ale nedokáže odpovědět na otázku, jak vypadá černá díra uvnitř. K tomu by bylo zapotřebí teorie kvantové gravitace. Ta by také pravděpodobně výrazně přispěla k lepší představě o vzniku našeho vesmíru ve Velkém třesku, protože pustíme-li si současné rozpínání vesmíru pomyslně pozpátku, dojdeme nakonec také k singularitě, kdy je veškerá hmota vesmíru směstnána do jednoho bodu o nekonečně velké hustotě a teplotě. Současné fyzikální poznání nás sice dokáže dostat velmi blízko ke vzniku světa, ale ne až do pomyslného času \(t=0\:\text{s}\). Mimochodem, snaha o prozkoumání, co se skrývá pod horizontem černé díry, a následné vytvoření této sjednocující teorie je jedním z hlavních prvků zápletky vědecko-fantastického filmu Interstellar, na jehož vzniku spolupracoval také tým relativistů vedený Kipem Thornem (mimo jiné laureátem Nobelovy ceny za fyziku v roce 2017 za přispění k detekci gravitačních vln).

Newton vs. Einstein

Strávili jsme už pěknou řádku stran snahou trochu proniknout do způsobu, jakým obecná teorie relativity popisuje gravitaci. Hodně jsme se při tom odkazovali na newtonovskou teorii gravitace, porovnávali tyto dvě teorie mezi sebou a prakticky vždy dávali přednost Einsteinově teorii jako té lépe popisující náš svět. To ale samozřejmě neznamená, že se přestaneme ve školách učit klasickou teorii gravitace a hned od začátku pojedeme relativisticky. Pokud jste středoškolskou kapitolou gravitace již prošli, pravděpodobně si vzpomenete, jak, vám co si čtete tento text možná ne, ale třeba některým vašim spolužákům, dělaly i v tomto případě výpočty problémy (a to je typická středoškolská látka jen špičkou ledovce plné klasické teorie a jejích možných aplikací). A teď si představte, že bychom místo toho nastoupili s diferenciální geometrií, metrikou, derivacemi apod.

Relativní jednoduchost ale samozřejmě není ten hlavní důvod, proč má newtonovská gravitace ve škole své místo. Ona totiž v pro nás běžných podmínkách funguje zatraceně dobře. Navíc například i takový jednoduchý pohyb v gravitačním poli jako je šikmý vrh se dá klasickou fyzikou vyřešit na pár řádcích, zatímco relativisticky už si člověk celkem započítá. Ve slabém (tj. pro nás běžném) gravitačním poli budou navíc výsledky obou teorií od sebe prakticky nerozlišitelné. Proto je a bude klasická teorie gravitace tou „hlavní“ na Zemi i pro vesmírné lety v okolí Země a dále po naší soustavě (malou výjimkou jsou zmíněné relativistické korekce v satelitech globální navigace apod.).

Z experimentů víme, že OTR dává správnější předpovědi, dokonce předpovídá celou řadu nových dnes již naměřených efektů. Ale v situacích, kdy není potřeba používat relativitu, zcela samozřejmě sáhneme po starém dobrém Newtonově gravitačním zákonu. Rozhodně se tedy nejedná o konflikt Newton vs. Einstein, jak říká nadpis, ale nejdřív Newton, potom Einstein. Vědecký pokrok je možný díky návaznosti práce současných vědců na ty předcházející, ať už ji rozšiřují či vyvrací. Sám Newton kdysi napsal o své práci: „Pokud jsem viděl dále, bylo to proto, že jsem stál na ramenech obrů.“ Byla to pravda v 17. století a je to o to více pravda i dnes.

Vztah mezi oběma teoriemi můžeme hezky ilustrovat následujícím smyšleným příběhem vypůjčeným ze skvělé knihy [ii]. Představme si dva antické cestovatele, kteří se nezávisle na sobě rozhodnou podniknout dalekou cestu na sever. Každý vyrazí ze svého rodného města (pro jednoduchost předpokládejme, že obě města leží na rovníku - obrázek 4.57). Oba tak putují prakticky po svém vlastním poledníku, což ale cestovatelé nevědí, protože jim zatím není známo, že je Země ve skutečnosti kulatá. Řečeno trochu návodně, nemají ponětí o zakřivení zemského povrchu.

Obrázek 4.57 Ilustrace příběhu o dvou cestovatelích. Čím více se blíží k severnímu pólu, tím rychleji se vzdálenost mezi nimi zkracuje. Bez znalosti geometrie planety nutně dochází k závěru, že mezi nimi působí jakási přitažlivá síla.

Během své cesty si mezi sebou posílají zprávy po poslech a díky tomu si časem všimnou, že jejich vzájemná vzdálenost se zmenšila. A čím víc se dostávají na sever, tím je nejen jejich vzdálenost stále menší, ale zároveň se zmenšuje rychleji. Přemýšlí o tomto zvláštním zjištění a dochází k faktu, že mezi nimi musí působit nějaká síla, která je navzájem přitahuje a čím severněji jsou, tím je tato síla větší. Neví, co tu sílu způsobuje, ale zjevně pozorují její účinky. Mohou provádět různé experimenty a zkoumat, na čem všem velikost této přitažlivé síly závisí. Z experimentů vyvodí teoretické vztahy a na jejich základě vytvoří předpovědi pro jiné situace atd.

My samozřejmě víme, že zde žádná přitažlivá síla nepůsobí. Cestovatelé se k sobě přibližují čistě na základě pohybu na zakřiveném povrchu. Aby si tohle ale uvědomili, museli by mít dobrou představu o tvaru Země. Buďto by se museli vznést vysoko do oblak nebo ještě lépe na oběžnou a podívat se na Zemi z výšky, tedy ze třetího rozměru, anebo by museli zakřivení Země odhalit na základě precizních pozorování a měření přímo na povrchu (vzpomeňme na Erathosténa z Kyrény a jeho měření délky stínu ve stejný čas na různých místech). S gravitací a prostoročasem je to zrovna tak. Akorát se nedokážeme podívat na prostoročas z vyššího rozměru, nedokážeme „vidět“ jeho zakřivení. Musíme vystačit se stále přesnějšími měřeními jeho vnitřní geometrie.

Einsteinova teorie relativity posunula lidské chápání gravitace výrazně kupředu. Od přitažlivé síly k zakřivenému prostoročasu je to dost velký myšlenkový skok. Zároveň si ale musíme uvědomit, že OTR cesta za poznáním gravitace nekončí. Již jsme se zmiňovali o limitech obecné relativity v souvislosti s černými dírami. Například ale také zatím nedokážeme odpovědět na otázku, proč vlastně kolem sebe hmotná tělesa zakřivují prostoročas. Relativita toto zakřivení pouze popisuje, ale nevysvětluje. Jak to tak na světě bývá, snaha najít odpovědi ohledně povahy světa s sebou prakticky vždy přináší nové otázky. Rozhodně se tak nemusíme bát, že by budoucí generace neměly co zkoumat.

Na tomto místě prozatím naše povídání ukončíme. Říkáme prozatím, protože do budoucna je v plánu tento text stále rozšiřovat, a to nejenom ve středoškolské, ale i plně vysokoškolské úrovni. Témat, o kterých se dá psát, je stále dost, například gravitační vlny nebo kosmologie. Díky vám, kteří jste se dočetli až sem na konec. Doufáme, že vám text byl k užitku, že alespoň částečně naplnil svůj účel i vaše očekávání a poodhalil vám základní myšlenky obecné teorie relativity. Nyní snad už máte lepší představu o tom, proč je podle fyziků gravitace zakřivením prostoročasu.

Máte-li k textu nějaké připomínky, dotazy či návrhy na zlepšení, budeme rádi, když nám je zašlete na matej.rysgmail.com.