Část 4: Obecná relativita

Konečně se dostáváme k základním myšlenkám obecné teorie relativity (OTR). Vysvětlíme si, proč se jí říká obecná, jak souvisí s tou speciální, a proč se týká především gravitace. Ona totiž základní myšlenka celé OTR, jak se můžeme dočíst prakticky v každé populární knize věnované této teorii, se dá shrnout do velmi stručné věty: „Gravitace je zakřivení prostoročasu“. Naším hlavním úkolem tedy bude pochopit, co tato věta přesně znamená. A protože prostoročas jsme si už představili v předchozí části, budeme se nyní bavit zejména o zakřivení. Samozřejmostí jsou také nejdůležitější důsledky obecné relativity, díky kterým je možné ji experimentálně ověřovat. Tato část bude méně matematická než ty předcházející, protože naprostá většina matematického aparátu OTR spadá do vysokoškolské matematiky, zejména diferenciální geometrie a tenzorového počtu. Protože není naším úmyslem utopit čtenáře v nové matematice, která je jen těžko pochopitelná bez předchozího (často i několikaletého) studia matematické analýzy a algebry, budeme dávat větší důraz na fyzikální myšlenky a vhodné analogie. Na druhou stranu, protože zcela bez matematiky se fyzika pořádně dělat nedá, tu a tam narazíme na trochu komplikovanější výpočty, které mohou středoškoláci alespoň trochu znát z vyšších ročníků nebo výběrových matematických seminářů. Takové příklady jsou pak většinou schované v rozbalitelných záložkách, aby si je zájemci mohli prohlédnout, ale aby zároveň zbytečně nenarušovaly zbytek textu.

Vývoj moderní teorie relativity připomíná výklad ve škole, kde učitel při probírání látky začne jednoduchým speciálním případem a následně ho použije jako odrazový můstek ke složitějšímu a obecnějšímu závěru. Stejným způsobem formuloval Einstein nejprve speciální teorii relativity, kde pracujeme s inerciálními vztažnými soustavami. Pokud bychom měli vystihnout obecnou teorii relativity několika slovy, řekli bychom, že je to teorie gravitace. Zabývá se gravitací jako důsledek snahy o zobecnění závěrů speciální relativity. Inerciální vztažné soustavy, které si STR vybírá k popisu světa kolem nás, jsou spjaty s dosti speciální třídou pozorovatelů. Pro ně byl postulován princip relativity i princip konstantní rychlosti světla ve vakuu. Zcela oprávněně bychom se pak mohli ptát, zda nejdou relativistické úvahy o různých pozorovatelích a jejich vztažných systémech zobecnit tak, aby zahrnovaly i neinerciální pozorovatele. Vždyť skutečnost, že se někdo vůči nám pohybuje se zrychlením, ještě neznamená, že je jeho popis méně platný než ten náš. Zároveň se ukazuje, že na rozdíl třeba od elektrické síly, gravitační síla nejde nijak odstínit, čímž narušuje jakýkoli inerciální systém ve svém dosahu a dělá ho neinerciálním. Je tedy nutné se s neinerciálními systémy vypořádat přímo.

Ještě než ale zodpovíme otázku ohledně souvislosti neinerciálních soustav a gravitace, měli bychom se podívat na důvody, proč jsme se gravitací ve speciální relativitě vůbec nezabývali. Ty jsou v zásadě dva. Prvním z nich je tzv. okamžité působení na dálku.

Klasická mechanika pohlíží na gravitaci jako na přitažlivou sílu, která se řídí Newtonovým gravitačním zákonem. Ze střední školy víme, že velikost gravitační síly mezi dvěma sféricky symetrickými tělesy o hmotnostech \(m_1\) a \(m_2\), která jsou od sebe vzdálena \(r\), je \begin{equation*}\label{4.1}\tag{4.1} F_g=G\frac{m_1m_2}{r^2}, \end{equation*} kde \(G\) je Newtonova gravitační konstanta (někdy značena také \(\kappa\)). Směr této síly je vždy dán spojnicí obou těles. Vzorec \eqref{4.1}, který velice dobře vysvětluje pohyb planet v naší sluneční soustavě a dodnes je používán v situacích, kdy není zapotřebí používat teorii relativity (například pro slabé gravitační pole), je ale v zásadním rozporu s STR. Podle \eqref{4.1} na sebe působí tělesa na dálku gravitační silou, a pokud se například poloha jednoho z těles změní, změní se okamžitě síla působící na druhé těleso, i kdyby bylo stovky světelných let daleko. Informace o tělese se tedy šíří nekonečně rychle (to znamená okamžitě) a to se nám nelíbí díky úvaze o kauzalitě na konci třetí části textu. Uvažme, že s dostatečně citlivými přístroji bychom ovlivněním jednoho tělesa mohli v principu okamžitě posílat informace „gravitační morseovkou“ přes obrovské vzdálenosti.

Sílu tohoto rozporu můžeme ukázat i následujícím způsobem. Představme si například, že by naše Slunce najednou zničehonic zmizelo. Podle klasické teorie by gravitační působení na Zemi obíhající po téměř kruhové dráze okamžitě přestalo a my nic netušící pozemšťané bychom sledovali (pokud bychom si toho stačili všimnout), jak naše planeta odlétá po tečně ke své původní trajektorii, jako když se točí závažím na šňůře, a ta se najednou utrhne. Mezitím by k nám stále ještě přicházelo světlo ze Slunce, takže by ani nebylo jasné, co vychýlení naší planety z orbity způsobilo. Na druhou stranu, podle speciální teorie relativity se veškeré informace šíří maximálně rychlostí světla. Podle toho by po zmizení naší hvězdy Země ještě něco málo přes osm minut klidně pokračovala po své normální dráze a teprve pak by se vydala vstříc mrazivé prázdnotě okolního vesmíru. Současně by k nám dolétly poslední sluneční paprsky vyslané před zmizením Slunce, a tak bychom, tváří v tvář globální katastrofě, alespoň věděli, co je její příčinou.

Ponurost tohoto příkladu stranou, chceme-li se držet našich úvah o relativitě, budeme patrně muset pozměnit náš náhled na gravitaci. Zdá se být nanejvýš podivné, že by část fyziky měla být omezena rychlostí světla, zatímco jiná část by „fungovala“ bez tohoto omezení. Proto nám stojí za to se alespoň znovu zamyslet nad gravitací z relativistického hlediska.

Existuje ale třída sil, které fungují podobně univerzálně jako gravitace. Jsou to tzv. setrvačné síly (nazývány také zdánlivé nebo nepravé). Zavádějí se na škole většinou v souvislosti s neinerciálními systémy. Nazýváme je nepravé, protože na rozdíl od např. elektrické síly nejsou způsobeny reálnou fyzikální interakcí. Jejich efekt pozorujeme, pokud se nacházíme v soustavě se zrychlením. Pozor na to, že může jít o jakékoli zrychlení, nejenom zvyšování a snižování velikosti rychlosti, ale také zatáčení nebo i rotaci. Například vezeme-li se na kolotoči, cítíme působení odstředivé síly, která nás chce vytáhnout ven z kolotoče (působí směrem od středu otáčení). Zároveň ale na kolotoči nevidíme, co přesně tuto sílu způsobuje. Naproti tomu náš kamarád stojící na zemi vidí, že naše tělo má tendenci vypadnout z kolotoče a pokračovat po tečně k trajektorii otáčivého pohybu. Je to naše setrvačnost (tendence pohybovat se rovnoměrně přímočaře), která nás „vytrhává“ z kolotoče, a tím se nám zdá, že na nás působí odstředivá síla. To si můžeme sami snadno potvrdit tak, že když roztočíme závaží na provázku a najednou provázek pustíme, závaží díky své setrvačnosti odletí ve směru tečny k původní trajektorii kružnici, tedy po přímce.

Pro velikost odstředivé síly platí \(F_o=m\omega^2r\), kde \(\omega\) je úhlová rychlost otáčení a \(r\) je vzdálenost od osy otáčení. Podobně jako dříve u gravitačního zrychlení můžeme snadno najít vztah pro zrychlení odstředivé \(a_o\), které nám odstředivá síla způsobuje. Podle druhého Newtonova zákona musí platit \(F_o=ma_o\), takže čistě srovnáním dvou předchozích vztahů vychází \(a_o=\omega^2r\). Odstředivé zrychlení je tedy, podobně jako u gravitačního zrychlení, stejné pro všechny předměty nehledě na jejich hmotnosti, důležitá je u tělesa jen jeho poloha – v tomto případě vzdálenost od osy otáčení.

Obecně platí, že jakékoli setrvačné zrychlení v neinerciální soustavě působí vždy proti směru zrychlení této soustavy. U zmíněného pohybu na kolotoči zatáčíme díky tzv. dostředivému zrychlení (jak víme z analýzy pohybu po kružnici), setrvačné zrychlení je ale odstředivé. Podobný argument platí i pro další nepravé síly. Na videu níže auto prudce zpomaluje nárazem, jeho zrychlení v soustavě spojené se zemí tedy míří proti směru jízdy. Pohyb figuríny z hlediska auta a zároveň i její setrvačné zrychlení je ale dopředu. Můžete si také sami zkusit rozmyslet, že velikost zrychlení soustavy jako celku (prudce zastavující auto) a setrvačného zrychlení, které pozorujeme uvnitř ní (trhnutí figuríny dopředu z hlediska auta) mají sice opačný směr, ale stejnou velikost.

Video 4.2a: Při pohledu z venku vidíme, že figurína je po nárazu "vymrštěna" proti volantu díky své setrvačnosti, ne nějakou vnější silou, jak se tomu může zdát z pohledu pozorovatele uvnitř auta.

Obrázek 4.2b Záběr z videa 4.2a výše. Stěna působí na auto silou a tím mu uděluje zrychlení proti směru pohybu (brzdí ho). Auto se tím stává neinerciální vztažnou soustavou a začnou v něm z pohledu pasažéra působit setrvačné síly proti směru zrychlení auta (dopředu).

Nabízí se tedy otázka, zda je vůbec gravitace pravá síla, jak to tvrdí klasická mechanika. Není možné, že nám gravitace připadá jako reálná síla jen proto, že na ni nahlížíme ze špatného úhlu pohledu? Pokud by to ale nebyla síla v pravém slova smyslu, tak co je to? K pochopení tohoto problému potřebujeme blíže prozkoumat účinky gravitace na svět kolem nás. Jak musíme pozměnit naše chápání prostoročasu zavedeného speciální relativitou v přítomnosti gravitace?

Jak známo, ISS je orbitální stanice, na které se střídá mezinárodní posádka astronautů a kde se provádějí důležité experimenty testující nové technologie a zkoumá se vliv pobytu ve vesmíru na člověka či jiné organismy. Videa ze stanice jsou běžně dostupná na internetu. Mimořádně populární se stala videa kanadského astronauta Chrise Hadfielda, který je také prvním člověkem, který natočil hudební klip mimo naši planetu. Zájemci stačí napsat astronautovo jméno do internetového vyhledavače a objeví mnoho zajímavých videí, včetně například ukázky, jak se ve vesmíru čistí zuby. Mimochodem, zmíněný hudební klip se jmenuje Space Oddity, je tedy předělávkou slavné písně Davida Bowieho. Snadno se tak můžeme na vlastní oči přesvědčit o tom, jak se tělesa na palubě vesmírné stanice chovají. Předměty se vznáší, poletují kolem ve stavu beztíže, voda v klidu tvoří kulové kapky, astronauti nespí vleže, ale zavěšeni do spacáků. Na první pohled to vypadá, že ve vesmíru není gravitace (a bohužel se najdou tací, kteří si to opravdu myslí). To je ale omyl. I když se vzdáleností gravitační působení Země slábne, na orbitě ISS musí zcela jistě gravitace existovat, protože Měsíc, který je mnohem dál od Země než ISS, je zemskou gravitací držen na své oběžné dráze (konec konců to samé platí i pro ISS a všechny družice). Stejný argument můžeme použít pro gravitační působení mezi Zemí a Sluncem atd. Proč jsou tedy astronauti a vše na mezinárodní stanici ve stavu beztíže? Protože padají, i když ne v běžném slova smyslu.

Tradičně se stav beztíže na orbitě vysvětluje pomocí rovnosti velikostí gravitační a odstředivé síly. Pokud si orbitu ISS představíme jako přibližně kružnici, působí na stanici a tím pádem i posádku neustále odstředivá síla, která je stejně velká, ale opačná oproti gravitační síle, které zakřivuje dráhu stanice. Musí to tak být, protože kdyby jedna ze sil převážila, stanice by se buď zřítila na Zem, nebo odletěla pryč do okolního vesmíru. Existuje ale ještě jiné možné vysvětlení. Stanice pod sebou nemá žádnou podpěru, ani nemá permanentně zažehnuté motory, takže zde není nic, co by na první pohled bránilo jejímu pádu na povrch Země. Trik jak nespadnout na planetu spočívá právě v pohybu do strany, lépe řečeno v tečném pohybu.

V mechanice se například učíme o tzv. vodorovném vrhu, kdy dané těleso hodíme s nějakou počáteční rychlostí vodorovným směrem. Každý si může sám vyzkoušet, co se stane. Hodíme-li např. tenisákem vodorovně, jeho trajektorie zatočí směrem k zemi po křivce podobné parabole – obrázek 4.4 (a dá se ukázat, že bez tření vzduchu by to opravdu parabola byla). Tento pohyb typicky chápeme jako složený ze dvou na sebe kolmých jednodušších pohybů. Jedním z nich je volný pád, protože míček na začátku nemá žádnou rychlost směrem dolů a tím směrem ho urychluje tíhová síla. Na druhou stranu ve vodorovném směru na míček žádná síla a tím pádem ani žádné zrychlení nepůsobí (samozřejmě zde odhlížíme od tření vzduchu), takže vodorovná složka pohybu je čistě rovnoměrný přímočarý pohyb. Mimochodem, skutečnost, že můžeme nějaký složitější pohyb chápat jako složený z několika jednodušších je možné i otestovat. V populární rovině si to vyzkoušela nám již známá dvojice Bořičů mýtů.

Obrázek 4.4 Nahoře: Momentka z programu Tracker používaného pro videoanalýzu pohybu těles. Červené body jsou zachycené polohy tenisového míčku při vodorovném vrhu. Tyrkysové a fialové body jsou průměty jednotlivých poloh do vodorovného a svislého směru. Ve vodorovném směru pozoruje rovnoměrný pohyb, svislé body korespondují se zrychlujícím se volným pádem.
Dole: Zachycení celého letu.

Vraťme se k představě volně padajícího výtahu. Abychom ho mohli oprávněně označit za inerciální soustavu, musí všechna tělesa splňovat první Newtonův zákon. To, jak už víme, znamená, že pokud jsou vůči výtahu vypuštěna z klidu nebo vykonávají rovnoměrný přímočarý pohyb, musí to tak i zůstat. Prakticky je to realizováno díky tomu, že všem tělesům včetně výtahu způsobuje gravitace přibližně stejné zrychlení. A protože zrychlení je vektorová veličina, znamená to urychlovat nejen stejnou měrou, ale i stejným směrem. Ze vzorce \eqref{4.1} ale vidíme, že gravitační síla (a tím pádem i zrychlení, které nám uděluje) klesá se vzdáleností od středu planety a navíc vždy do toho středu míří (mluvíme o tzv. radiálním gravitačním poli, které je naznačeno na obrázku 4.6 vlevo). Gravitační zrychlení tak obecně rozhodně není všude stejné. Rychlý výpočet nám ale ukáže, že pro většinu situací v běžném životě si můžeme situaci výrazně zjednodušit. Porovnejme, jak se bude lišit gravitační zrychlení na povrchu Země a ve výšce \(100\:\text{m}\) nad povrchem. Abychom dokázali výsledek rozumně interpretovat, vypočítejme rovnou relativní změnu, tedy vydělenou původní hodnotou zrychlení: \begin{align*} &\frac{g(0\:\text{m})-g(100\:\text{m})}{g(0\:\text{m})}= \frac{\frac{GM_z}{R_z^2}-\frac{GM_z}{\left(R_z+100\:\text{m}\right)^2}}{\frac{GM_z}{R_z^2}}=\frac{\frac{1}{R_z^2}-\frac{1}{(R_z+100\:\text{m})^2}}{\frac{1}{R_z^2}}= \\ &=1-\frac{R_z^2}{(R_z+100\:\text{m})^2} =1-\frac{6378000^2}{6378100^2}= 0{,}0000314\doteq0{,}003\:\%. \end{align*} Vidíme, že na 100 metrech výškového rozdílu činí změna gravitačního zrychlení jen něco málo přes tři tisíciny procenta, což je hodnota měřitelná jen s velmi kvalitním technickým vybavením, s běžně dostupnými měřidli bychom ji nenaměřili. Jako cvičení si můžete zkusit odvodit, v jaké nadmořské výšce se velikost gravitačního zrychlení změní alespoň o 1 % oproti povrchu.

Obrázek 4.6 Gravitační pole kolem kulové planety má směr vždy do středu (radiální) a zmenšuje se se vzdáleností od povrchu. V měřítkách výrazně menších než jsou rozměry planety, můžeme s dostatečnou přesností považovat gravitační pole za homogenní, tedy mající všude stejný směr a velikost.

Je snadné si rozmyslet, proč je tato změna tak malá. Naše planeta je obrovská v porovnání s běžnými rozměrovými škálami lidského života. \(100\) metrů nebo i kilometr je zanedbatelná vzdálenost vůči poloměru Země. Stejně tak to dopadne i se směrem gravitačního zrychlení. Pokud bychom nechali volným pádem padat tělesa u nás a třeba na Novém Zélandu, obě tělesa budou urychlována směrem do středu Země, rozhodně tedy ne stejným směrem. Jakmile ale obě tělesa přiblížíme dostatečně blízko sebe, budou padat prakticky rovnoběžně (i když teoreticky vždy nějaký úhel jejich dráhy samozřejmě svírají). Opět zkusme rychlý výpočet. Dejme tomu, že v našem uspořádání nedokážeme měřit úhel menší než je jedna úhlová sekunda (tj. 1/3600 úhlového stupně, což je úhel, na jehož změření už potřebujeme poměrně drahá měřidla). Jak daleko od sebe bychom v zanedbatelné výšce nad zemí museli vypustit z klidu dvě tělesa, aby odchylka jejich pádů byla menší než přesnost našeho měření?

Obrázek 4.7 Nákres k výpočtu takové vzdálenosti dvou padajících předmětů na povrchu Země, abychom jejich pády považovali za rovnoběžné.

V pravoúhlém trojúhelníku na obrázku 4.7 vidíme, že platí \begin{equation*} \sin⁡{\frac{\beta}{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{R_z}=\frac{x}{2R_z} \Rightarrow x=2R_z\sin{\frac{\beta}{2}}. \end{equation*} Dosadíme-li za úhel \(\beta\) naši hraniční podmínku jedné úhlové sekundy, dostáváme vzdálenost těles přibližně 31 metrů. Pokud bychom hypoteticky nedokázali naměřit úhel menší než jeden stupeň (což už samo o sobě není v běžných podmínkách jednoduché), možná vzdálenost těles vzroste na 111 kilometrů! Vidíme tedy, že pokud se omezíme na dostatečně malou oblast, můžeme považovat gravitační pole Země za homogenní, tzn. mající všude v dané oblasti stejný směr a stejnou velikost.

Shrňme nyní naše úvahy. Abychom mohli zkoumat gravitaci relativisticky, potřebujeme vyjít z nějakého známého startovacího bodu. Tím jsou inerciální vztažné soustavy, protože v nich platí poznatky speciální teorie relativity. Problém spočívá v tom, že ty za přítomnosti gravitace nejsme schopni realizovat. Respektive, nejsme schopni je realizovat globálně, což zde prakticky znamená neomezeně velké. Jak jsme si ale už rozmysleli, lokálně (tj. v dostatečně malém měřítku) nám to projde. Naše soustava musí být dostatečně malá, aby se neprojevil nehomogenní charakter gravitace, a zároveň musí být vztažena k volně padajícímu tělesu (zkráceně řečeno, celá soustava musí volně padat). Technicky hovoříme o tzv. lokální inerciální soustavě, zkráceně LISu. Jak přesně malá musí tato soustava být? To záleží na konkrétní situaci. Třeba někde na oběžné dráze geostacionárních družic, kde je gravitační působení o něco slabší než na povrchu planety, nebude rozdíl oproti homogennímu poli tolik patrný, takže si můžeme dovolit uvažovat ve větších měřítkách. Obecně řekněme, že naše LIS musí být dostatečně malá na to, aby jakékoli odchylky od homogenní situace byly pod naše rozlišovací schopnosti. K tomu ale zároveň musíme dodat, že naše případné úvahy či experimenty se budou muset omezit nejenom na dostatečně malé vzdálenosti, nesmí ani příliš dlouho trvat. Pokud bychom totiž například nechali dvě tělesa z obrázku 4.7 padat dostatečně dlouho, je jen otázkou času, než jejich zanedbatelné, ale přesto nenulové vzájemné přibližování vzroste na měřitelnou úroveň, anebo prostě jen nedopadnou na zem. LIS tedy nebude lokální jen v prostoru, ale i v čase – takže vlastně v prostoročase.

Možná vás už napadlo, že se nám tak nabízí možnost, jak simulovat pozemskou gravitaci na meziplanetárních letech. Stačilo by mít neustále zapnuté motory, aby loď zrychlovala se zrychlením \(9{,}8\:\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Posádka si tak možná bude připadat trochu jako ve výtahu jedoucím vzhůru, protože cíl bude „nad jejich hlavami“, ale na tom není nic špatného. Ve vesmíru si můžeme vybrat, kde je „nahoře“. A aby pak dokázali u cíle zastavit, mohla by se loď v polovině cesty otočit o 180° a začít se stejným zrychlením brzdit. „Gravitace“ bude fungovat stále, akorát tentokrát bude k cíli směřovat podlaha a posádka pojede „výtahem“ dolů. Bohužel se nám do této krásné teoretické představy promítají praktické komplikace a to zejména náročnost této metody na spotřebu paliva. Výhoda vesmírného cestování spočívá v tom, že po dosažení určité rychlosti můžeme vypnout motory a díky absenci odporu prostředí si „zadarmo“ plout vesmírem konstantní rychlostí (na Zemi naopak musíme neustále překonávat odpor prostředí, takže chceme-li se v jakémkoli dopravním prostředku pohybovat konstantní rychlostí, musíme alespoň trochu neustále „šlapat na plyn“). Zatím se tedy zdá být nereálné, aby si s sebou raketa mohla vzít na (prakticky jakkoli dlouhou) cestu dostatek paliva na to, aby celou dobu zrychlovala. Naštěstí existuje jednodušší řešení, namísto zrychlování a zpomalování můžeme celou raketu roztočit podél směru letu a toto otáčení raketě po celou dobu letu zůstane. Gravitaci tak bude simulovat odstředivá síla, což je řešení, které jste už určitě viděli v nějakém vědecko-fantastickém filmu. I v tomto případě je třeba překonat určité praktické komplikace, ty jsou už ale nad rámec našeho povídání.

Mimochodem, nyní jsme se v našich úvahách vrátili kruhem zpět na začátek této kapitoly. Je-li obecná teorie relativity důsledkem snahy rozšířit relativistickou fyziku na libovolné neinerciální soustavy a zároveň jsme si rozmysleli, že lokálně je zrychlení naší soustavy nerozlišitelné od gravitačního působení, dostáváme se k závěru, že obecná relativita je také (ale vlastně zejména) teorií gravitace.

Traduje se, že Einstein sám při svých úvahách v tomto bodě nevěděl, jak pokračovat, a byl to jeho spolužák, přítel a později kolega, matematik Marcel Grossman, kdo Einsteina upozornil na podobnost důsledků principu ekvivalence a vztahů v diferenciální geometrii. Ta se zabývá zejména popisem geometrie na zakřivených plochách a v zakřivených prostorech (více se o tom zmíníme později). První vědecké články popisující základy OTR napsal Einstein právě ve spolupráci s Grossmanem a formuluje je zde právě v geometrickém pojetí. Abychom ale dokázali toto překvapivé spojení gravitace a geometrie pochopit, musíme nejdříve udělat, stejně jako je tomu asi v každé učebnici obecné relativity, geometrickou odbočku. Pokusíme se rozebrat hlavní myšlenky diferenciální geometrie, abychom pak ve finále dokázali pochopit již zmíněnou základní tezi OTR, kterou běžně nacházíme v populárních knihách: Gravitace je zakřivení prostoročasu.

Gravitační vs. elektrická síla

Pomocí Newtonova a Coulombova zákona vypočítejte, kolikrát je elektrická síla mezi protonem a elektronem silnější než gravitační (potřebné fyzikální konstanty můžete dohledat na internetu).

Rozjíždějící se tramvaj

Když nastoupíme do zadní části tramvaje (nebo samozřejmě jakéhokoli jiného dostatečně prostorného dopravního prostředku), můžeme zcela normálně projít vnitřkem tramvaje dopředu. Pokud se ale v tu chvíli začne tramvaj rozjíždět, naše chůze kupředu se stane zjevně náročnější, jako bychom šli do mírného kopce, i když tramvaj je celou dobu v rovině. Vysvětlete tento jev. Jak souvisí s chůzí do kopce? (Nakreslete si při řešení obrázek mírné nakloněné roviny.) Vypočítejte úhel stoupání, který odpovídá situaci, kdy se tramvaj rozjíždí se zrychlením \(1\:\text{m}\cdot{s}^{-2}\).

Horní 1 %

Určete, v jaké nadmořské výšce se velikost gravitačního zrychlení změní alespoň o 1 % oproti povrchu.

Na kolotoči jako doma

Představme si, že jsme na vesmírné lodi, jejíž obytná část má tvar prstence s poloměrem zhruba \(50\:\text{m}\). Po většinu cesty se loď otáčí kolem své podélné osy, aby posádky v prstenci cítila standardní zemskou „gravitaci“ \(9{,{8\:\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Jak dlouho musí trvat jedna otáčka, aby to byla pravda?

Co to znamená, že je prostoročas zakřivený? Tuto otázku se nyní budeme snažit zodpovědět, ale nebude to jen tak. Představit si prostoročas samotný je pro nás velmi obtížné, natož pak do situace vnášet další geometrii. Celou situaci si musíme nejdřív zjednodušit. Začneme tedy s něčím, co si nejen dokážeme představit, ale co je i blízké naší každodenní zkušenosti. Místo čtyř souřadnic, z nichž jedna je časová, se pro začátek omezíme jen na dvě prostorové. Podíváme se na zakřivené plochy.

Prakticky všechna geometrie, se kterou se člověk na základní a střední škole setká, se odehrává v rovině. V této, tzv. eukleidovské geometrii, založené na několika axiomech zformulovaných řeckým matematikem Eukleidem, platí mnoho nám tak dobře známých geometrických tvrzení jako například \begin{array} {l l} \tag{4.2}\label{4.2} \bullet & \text{Nejkratší spojnice dvou bodů je úsečka (tj. část přímky).} \\ \bullet & \text{Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je }180^°\text{.} \\ \bullet & \text{Rovnoběžky se nikdy neprotnou (respektive kolmá vzdálenost rovnoběžek je všude stejná).} \\ \bullet & \text{Mezi poloměrem kružnice }r\text{ a jejím obvodem }o\text{ platí vztah }o=2\pi{}r\text{.} \\ \end{array} Funguje to i obráceně, pokud na libovolné ploše zjistíme platnost tvrzení výše, jedná se pravděpodobně o rovinu. Stejná tvrzení platí také v prostoru. Stačí si uvědomit, že v prostoru lze každým trojúhelníkem, dvojicí rovnoběžek, kružnicí nebo jen dvojicí bodů proložit rovinu (dvěma body lze dokonce proložit nekonečně mnoho rovin). Takovému prostoru pak také říkáme eukleidovský a čtenáři se může zdát překvapivé, že máme potřebu prostor nějak dál pojmenovat. Je to proto, že i když eukleidovská geometrie má pro náš život největší význam (například s její pomocí navrhujeme stavby, stroje apod.), existují i jiné geometrie, souhrnně jim říkáme neeukleidovské. Podívejme se nyní na několik návodných příkladů takových geometrií.

Podobně můžeme ukázat, že spojení dvou míst rovnoběžkou není nejkratší možné (ač se tak může na první pohled zdát). Toto tvrzení lze dokázat obecně, ale my zůstaneme u praktického příkladu. Zapněte si v prohlížeči mapy, které obsahují letadlová spojení, např. Google Maps. Zadejte leteckou cestu mezi dvěma vzdálenými městy na zhruba stejné zeměpisné šířce, například z New Yorku do Madridu (zde činí rozdíl v zem. šířce zhruba pouhých půl stupně – obrázek 4.11). Všimněte si tvaru zobrazené trajektorie letu. Nesleduje příslušnou rovnoběžku, ale je zobrazena jako oblouk. Ačkoli je jeho tvar jistě zkreslený zobrazením na ploché mapě, jistě vám připomíná již zmíněné části hlavní kružnice. Aerolinky určitě nebudou jen tak ztrácet čas a peníze za zbytečně dlouhé lety, je v jejich zájmu dostat se do cíle po co nejkratší dráze (samozřejmě musí pracovat také s dalšími vlivy jako je počasí, vzdušné proudění apod., ale to je to opět jen komplikace navíc). Zdá se tedy, že spojení dvou míst po rovnoběžce opravdu není nejkratší. Na mapě si můžete takto zkusit spojit i jiná místa. Čím budou dále od sebe, tím bude rozdíl výraznější. Mimochodem, může vám připadat, že zde úvahami o létání porušujeme naši úmluvu, že se budeme striktně držet povrchu. Není zde ale nic, co by naši domluvu narušovalo. Letu využíváme pouze ke zdolání přírodních překážek (v tomto případě Atlantického oceánu), nijak zde nepracujeme s další dimenzí. Můžeme si představit, že letadlo by teoreticky mohlo letět po celou dobu těsně nad povrchem. Případně, kdyby se dalo mezi oběma městy cestovat suchou nohou, platily by naše úvahy stejně například pro cestu autem. Názorně si také můžete situaci vyzkoušet v appletu.

Obrázek 4.11 Cesta letadlem z New Yorku do Madridu (jejichž zeměpisná šířka je velmi podobná) pomocí Google Maps. Vidíme, že naznačená cesta na mapě nesleduje zdánlivě nejpřímější spojnici (po zeměpisné rovnoběžce), ale odpovídá části hlavní kružnice.

Při našich úvahách jsme na sféře objevili zakřivené analogie dvou pojmů známých z rovinné geometrie, úsečky a jejím pomyslným protažením i přímky. Podobné analogie se jistě dají provést i pro jiné zakřivené plochy, i když třeba nebudou tak dobře představitelné jako u sféry. Zobecnění přímky, jakožto trajektorie tělesa, která jde stále „rovně“, se říká geodetika, a jedná se o velmi důležitý pojem nejen v geometrii, ale i v obecné teorii relativity. Proto s ní budeme i my dále hodně pracovat. Podobně jako v rovině je úsečka, tj. část přímky o konečné délce, nejkratší spojnice dvou bodů, je i na zakřivené ploše část geodetiky touto nejkratší spojnicí. Z principu věci je asi jasné, že tvar geodetiky je dán zejména geometrií dané zakřivené plochy (už víme, že v případě koule se jedná vždy o některou z hlavních kružnic) a u obecně komplikovaně zakřivených ploch se mohou geodetiky i v různých částech plochy svým tvarem lišit.

Vraťme se nyní o krok zpět. Začali jsme uvedením několika vybraných geometrických tvrzení \eqref{4.2} platných v eukleidovské geometrii. Už jsme si rozmysleli, jak dopadá první z těchto tvrzení. Nejkratší spojnice dvou bodů na sféře není úsečka, ale část hlavní kružnice. Podívejme se nyní i na zbývající tvrzení.

Posledním ze zmíněných tvrzení byl vztah mezi poloměrem kružnice a jejím obvodem, \(o=2\pi{}r\). Často tento vztah chápeme jako definici čísla pí, ve škole je to poprvé, kde se s ním setkáváme (sice častěji v souvislosti s průměrem kružnice \(o=\pi{}d\), ale fakticky se jedná o stejný vztah). Prakticky nám říká, že obvod kružnice je přímo úměrný jejímu poloměru. Kružnice, která má dvojnásobný poloměr než jiná, bude mít i dvojnásobný obvod. Na sféře to dopadne ale jinak. Vyjdeme-li z definice kružnice jako množiny bodů, které jsou od zvoleného středu stejně daleko, máme praktický způsob, jak na sféře kružnici zkonstruovat. Na obrázku 4.14 vlevo vidíme, že pro každou kružnici je její „poloměr“ \(r\) měřený na sféře větší, než příslušný eukleidovský poloměr \(r^\prime\) ležící uvnitř koule, když si ji představujeme jako objekt v třírozměrném prostoru. Nutně tedy musí platit, že \(o\lt{}2\pi{}r\) a to pro libovolnou kružnici na sféře. Pokud jde o přímý matematický vztah mezi obvodem kružnice a jejím sférickým poloměrem, můžeme relativně snadno odvodit, že na sféře o poloměru \(R\) platí \begin{equation*}\label{4.3}\tag{4.3} o=2\pi{}r^\prime=2\pi{}R\sin⁡{\frac{r}{R}}\lt{}2\pi{}r. \end{equation*}

Vztah mezi obvodem kružnice na sféře a jejím naměřeným sférickým „poloměrem“ \(r\), tedy vzdáleností všech bodů kružnice od středu měřenou na ploše sféry o poloměru \(R\), vidíme na obrázku, kde je situace pro větší přehlednost nakreslena z boku. Zvolená kružnice se středem „na severním pólu“ je čárkovaně. Ačkoli se dovnitř sféry nedostane, můžeme si představit vnitřek sféry jako běžný eukleidovský prostor, kde se nachází také příslušný eukleidovský poloměr \(r^\prime\) kružnice. Platí tedy nutně \(o=2\pi{}r^\prime\). Nyní stačí najít vztah mezi \(r\) a \(r^\prime\). Oblouk délky \(r\) vytyčuje vůči středu koule úhel \(\theta\) a platí \(r=\theta{}R\) (pozor, jak si budeme ještě ukazovat, tento vztah funguje jen tehdy, když je úhel \(\theta\) v radiánech, ne ve stupních). Dále z pravoúhlého trojúhelníku na obrázku vidíme, že platí \(\sin{⁡θ}=r^\prime/R\). Dáme-li všechny tyto vzorce dohromady, dostáváme

\begin{equation*} o=2\pi{}r^\prime=2\pi{}R\sin{\theta}=2\pi{}R\sin{\frac{r}{R}}. \end{equation*}

Obrázek 4.14 Vlevo: Dvě kružnice na sféře o různých poloměrech a jejich příslušné „eukleidovské“ poloměry uvnitř sféry. Jelikož pro každou kružnici platí \(r>r^\prime\), je i nutně \(2\pi{}r\gt{}o\).
Vpravo: Graf závislosti \eqref{4.3} pro \(R = 1\:\text{m}\) – modře, v porovnání s lineární závislostí \(o=2\pi{}r\) platící v rovině - červeně. Všimněme si dvou detailů. Za prvé, obvod kružnice na sféře s rostoucím poloměrem stoupá až do maximální možné hodnoty \(2\pi{}R\) (což je v tomto případě přibližně \(6{,}28\:\text{m}\)) a opět klesá podle očekávání. Za druhé, pro malé poloměry jsou obě závislosti prakticky nerozeznatelné. To znamená, že pokud bychom chtěli pomocí konstrukce kružnic testovat, zda se nacházíme na rovině či na sféře, museli bychom zkonstruovat kružnice dostatečně velké v porovnání s poloměrem sféry. Zkuste si sami ověřit, že aby byl rozdíl mezi modrou a červenou závislostí alespoň \(1\:\%\), museli bychom v případě planety Země vytvořit kružnici o poloměru zhruba \(1500\:\text{km}\), což měřeno od severního pólu na jih odpovídá posunutí v zeměpisné šířce o cca \(15^°\). Pro srovnání, rozdíl v zeměpisné šířce mezi severním pólem a severním polárním kruhem je zhruba \(23{,}5^°\).

Shrňme si nyní, jak dopadla naše vybraná geometrická tvrzení na sféře: \begin{array} {l l} \tag{4.4}\label{4.4} \bullet & \text{Nejkratší spojnice dvou bodů je oblouk (část hlavní kružnice).} \\ \bullet & \text{Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je větší než }180^°\text{.} \\ \bullet & \text{Původně rovnoběžné „přímky“ na sféře se k sobě přibližují a dříve nebo později se protnou.} \\ \bullet & \text{Mezi poloměrem kružnice }r\text{ a jejím obvodem }o\text{ platí vztah }o\lt{}2\pi{}r\text{.} \\ \end{array} Platnost všech tvrzení si můžete vyzkoušet v appletu (z něhož jsou pořízena videa v této podkapitole).

Další geometrie

Na geometrii sféry se ještě detailněji podíváme později, před tím si pojďme ukázat další příklady. Ukazuje se, že existuje celá řada zakřivených ploch, kde kvalitativní geometrická tvrzení \eqref{4.4} dopadnou stejně. Příkladem je třeba elipsoid. A není se zas tak čemu divit, protože ten vznikne „natažením“ či "splácnutím" koule do různých směrů (obrázek 4.15 vlevo). Nebo opačně, koule je vlastně speciálním případem elipsoidu, který má stejnou šířku, délku i hloubku. Pokud jste si v předchozí podkapitole zkoušeli sférickou geometrii na balónku, prakticky jste pracovali s objektem bližším elipsoidu než kouli. Dalším příkladem nyní už neuzavřené plochy je eliptický paraboloid (obrázek 4.15 vpravo). Jedná se o plochu, kterou když orientujeme jako zde na obrázku a rozřízneme ji ve svislém směru, dostaneme vždy parabolu. Pokud ji rozřízneme vodorovně, dostáváme vždy elipsu (či v případě rotačně symetrického paraboloidu kružnici – tento případ je i na obrázku). S malým výřezem paraboloidu se můžeme nejčastěji setkat u parabolických antén na domech (nesprávně se jim často říká satelit).

Obrázek 4.15 Vizualizace elipsoidu (vlevo) a eliptického paraboloidu (vpravo).

Důvodem, proč se geometrie chová na všech těchto objektech podobně, je, že jsou to zástupci ploch s tzv. kladnou křivostí. V diferenciální geometrii se zavádí veličina nazývaná Gaussova křivost. Počítá se v každém bodě plochy a dává nám informaci o tom, jak „moc“ je plocha v daném bodě zakřivena. Jak jsme už zvyklí, nebudeme se zabývat složitými matematickými definicemi (ale zájemci se mohou více dozvědět například na Wikipedii) a místo toho si ukážeme konkrétní příklady. V případě sféry o poloměru \(R\) vychází Gaussova křivost jako \(K=1⁄R^2\) v každém bodě, všude tedy dostáváme stejné kladné číslo. A není divu, protože sféra je plně symetrická („vypadá z každé strany stejně“), takže dává smysl, že „míra zakřivení“ je v každém bodě stejná. Zároveň vidíme, že čím má sféra menší poloměr, tím víc je zakřivena, což je také vcelku přirozené.

Elipsoid či paraboloid již zjevně nejsou zakřiveny všude stejně a nejedná se tedy tím pádem o plochy konstantní křivosti. I když se ale křivost bude v rámci těchto ploch měnit, bude vždy kladná. Například rotační paraboloid na obrázku 4.15 vpravo vznikl rotací paraboly \(z(x)=-x^2+8\) kolem svislé osy. Můžeme si to představit tak, že libovolný bod v rovině \(xy\) vytáhneme do výšky podle předpisu \(z(x,y)=-(x^2+y^2)+8\). Například v počátku o souřadnicích \([0,0]\) vychází výška plochy rovná \(8\) (v daných jednotkách). V bodě \([1,1]\) už je to \(6\) atd. Každý bod na ploše tak můžeme v tomto případě identifikovat jen podle příslušných dvou souřadnic v rovině \(xy\) (sami si můžete rozmyslet, že třeba u sféry by tento postup již nefungoval, protože by přiřazení nebylo jednoznačné). Gaussova křivost pro tento paraboloid pak podle Wolfram Mathworld (v odkazu najdete obecné vztahy závislé na dvou parametrech \(a\) a \(b\). V našem případě je \(a=b=1\)) vychází \begin{equation*}\tag{4.5}\label{4.5} K(x,y)=\frac{4}{(1+4x^2+4y^2)^2} , \end{equation*} což je opět pro libovolný bod paraboloidu kladné číslo. Mimochodem, zde sice chápeme plochu paraboloidu jako vnořenou do třírozměrného prostoru, což je postup, který jsme si zakázali, ale děláme to jen pro lepší představu a zejména jednoduchou interpretaci vztahu. Samotné vnoření nijak nevyužíváme.

Viděli jsme plochy s kladnou křivostí a s nulovou křivostí, nyní se podíváme na plochy se zápornou křivostí. Ty už nejsou tak blízké naší běžné zkušenosti. Často zmiňovaným příkladem je hyperbolický paraboloid zvaný také sedlová plocha – obrázek 4.17 (podobnost s koňským sedlem je zde vcelku zjevná). Přímou zkušenost s koňským sedlem má dnes již asi málokdo z nás, nicméně na tento zajímavý tvar můžeme narazit také u brambůrků značky Pringles. Ne, že bychom zde chtěli dělat reklamu nějaké konkrétní značce, ale ukazuje se, že jiné brambůrky prodávané v tubě nemají tvar hyperbolického paraboloidu, nýbrž pouze části válcové plochy (jinými slovy jsou prohnuty pouze v jednom směru na rozdíl od sedla, které je prohnuto ve dvou na sebe kolmých směrech) – ověření tohoto tvrzení necháme na čtenářově vlastním výzkumu.

Obrázek 4.17 Vlevo nahoře: Vykreslení sedlové plochy jako 3D grafu. Vpravo nahoře: 3D-vytištěná pomůcka demonstrující rozbíhání původně rovnoběžných geodetik a vlevo dole porovnána s kartonovým modelem. Vpravo dole: Obrázek pro změnu z počítačové animace demonstruje tři geodetiky tvořící na sedlové ploše trojúhelník. Součet jeho vnitřních úhlů je zjevně menší, než kdyby byl trojúhelník vytvořen v rovině.

Představme si sedlovou plochu opět jako 3D graf, tedy že každému bodu v rovině xy určíme konkrétní výšku jako souřadnici \(z\). Jednou možností této funkce \(z(x,y)\) je \begin{equation*}\label{4.6}\tag{4.6} z(x,y)=x^2-y^2. \end{equation*} Alternativně bychom mohli ve vzorci \eqref{4.6} prohodit znaménka u souřadnic, čímž plochu otočíme o \(90^°\) (můžete si to vyzkoušet například zde). Gaussovu křivost v tomto případě lze nalézt jako (opět podle Wolfram Mathworld, opět v našem případě oproti odkazu používáme \(a=b=1\)): \begin{equation*}\label{4.7}\tag{4.7} K(x,y)=-\frac{4}{(1+4x^2+4y^2)^2}. \end{equation*} Vidíme, že Gaussova křivost vychází v každém bodě opravdu záporná, nikoli však ve všech místech stejná. Abychom nyní mohli vyzkoušet vnitřní geometrii této plochy, tj. ověřit jak dopadnou geometrická tvrzení \eqref{4.2}, potřebujeme rozhodně větší a odolnější model než je bramborový lupínek. Zároveň naprostá většina z nás nemá snadný přístup ke koňským sedlům. Jeden snadný způsob, jak plochu vytvořit, je 3D tisk (samozřejmě snadný jen pokud máme k dispozici 3D tiskárnu; nemáme-li ji k dispozici, můžeme vytvořit alespoň dostatečně přibližný model z kartonu. Na obrázku 4.17 vlevo dole vidíme porovnání vytištěného parabolického hyperboloidu s kartonovým modelem. Oba také ukazují, že původně rovnoběžné geodetiky se rozbíhají (na rozdíl od kladně zakřivených ploch, kde se sbíhaly). Stejně tak je možné ukázat pomocí tří geodetik, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy menší než \(180^°\) (na obrázku vpravo dole vidíme obrázek z appletu, který si můžete vyzkoušet i vy). O něco náročnější, ale stále možné je ukázat, jak to bude se vztahem kružnice v ploše a jejího poloměru. Samozřejmě se zde musíme opřít o obecnou definici kružnice jako množiny bodů, jejichž vzdálenost od zvoleného středu je stejná. I zde by naše geometrická zkouška dopadla v jistém slova smyslu „opačně“ než u kladně zakřivených ploch, obvod kružnice bude větší než její poloměr vynásobený \(2π\).

Dalším příkladem záporně zakřivené plochy je například jednodílný hyperboloid, který známe jako typický tvar chladících věží v elektrárnách (obrázek 4.18 vlevo). Samozřejmě existují i plochy, které mají oba druhy křivosti. Jak jsme si říkali, křivost je bodová vlastnost, takže v různých bodech plochy může být různá, včetně svého znaménka). Existuje i vcelku jednoduchý trik, jak na první pohled odhadnout, zda je plocha v daném místě zakřivená kladně či záporně. Vytvořme v daném místě dvě navzájem kolmé geodetiky (pro praktickou zkoušku poslouží i například vaše ukazováčky). V místě s kladnou křivostí budou tyto křivky z našeho pohledu shora „zatáčet“ na stejnou stranu, například obě od nás nebo obě směrem k nám. U záporně zakřivené plochy budou „zatáčet“ na opačné strany (srovnání vidíme na obrázku 4.18 vpravo). Zkuste například pomocí tohoto testu určit typ křivosti na vnější a vnitřní straně banánu.

Obrázek 4.18 Vlevo: Jednodílný hyperboloid.
Vpravo: Navzájem kolmé geodetiky na záporně a kladně nabité ploše.

Existuje samozřejmě mnoho dalších způsobů jak zkoumat zakřivení a mnoho jiných příkladů zajímavých ploch. Účelem této podkapitoly bylo ale pouze poukázat na existenci různých druhů zakřivení a jejich účinků na vnitřní geometrii. Pojďme se proto nyní už posunout zase o kousek dál na naší cestě za obecnou relativitou. Chcete-li toho o zakřivení vyzkoušet více, podívejte se na Geometrické aktivity a modely.

Gravitace a geometrie

Jakkoli se naše geometrická odbočka může zdát zajímavá, jistě je na místě vysvětlit, proč k ní na naší cestě k základům obecné relativity muselo dojít. Způsob tohoto vysvětlení ale silně závisí na našich předchozích znalostech. Není v našich silách přednést rigorózní, ale matematicky komplikované argumenty, které bychom nalezli ve vysokoškolských učebnicích. Namísto toho půjdeme opět cestou připodobnění a odkazů na věci, které již známe. Berte tedy tuto kapitolu ne jako důkaz, že relativistický pohled na gravitaci je nutně geometrický, ale jako ukázku, že je popisovaný geometrický přístup možný a oprávněný. Vlastně tak vytváříme konkurenci newtonovskému pohledu na gravitaci a později tyto dvě teorie rozsoudíme, jak to má být - v reálném experimentu.

Představme si těleso, které se volně (tj. bez působení vnějších sil) pohybuje vesmírem. Jak už bylo řečeno dříve, takové těleso se pohybuje podle prvního Newtonova zákonu rovnoměrně přímočaře (tj. pořád stejně rychle po přímce). Pokud se pak těleso dostane do gravitačního pole například planety, jeho trajektorie se zakřiví (obrázek 4.19 vlevo nahoře). Podobně, pokud bychom v prázdném mezihvězdném prostoru vyslali dvě tělesa rovnoběžně stejnými rychlostmi, jejich trajektorie budou pochopitelně rovnoběžné přímky a vzdálenost mezi tělesy bude během pohybu prakticky stejná. Pokud ale stejný pokus uskutečníme například v dostatečné blízkosti nějaké planety, tělesa se k sobě začnou přibližovat či oddalovat podle toho, kterým směrem je vyšleme (obrázek 4.19 vlevo dole a vpravo ilustruje dvě takové situace). Klasická fyzika si tyto změny v chování těles vysvětluje jednoduše. V gravitačním poli na tělesa působí gravitační síla, takže už nejsou volná a jejich dráhy jsou tím pádem nutně zakřiveny.

Relativita se na celou věc dívá jinak. Gravitaci si nevysvětluje jako přitažlivou sílu způsobenou planetou, ale jako změnu geometrie v jejím okolí. Jistě vám neunikla podobnost mezi chováním trajektorií těles v gravitačním poli a geodetik na zakřivených plochách. Stejně jako na zakřivené ploše nelze nakreslit přímku, nemůže se těleso čistě pod vlivem gravitace obecně pohybovat v prostoru po přímce (musela by na těleso působit ještě nějaká jiná síla, například raketových motorů, která by musela velmi přesně kompenzovat působení gravitace). I původně rovnoběžné trajektorie se budou přibližovat či oddalovat podobně jako geodetiky na zakřivených plochách.

Na druhou stranu, jistě si vzpomenete na začátek kapitoly 4.1, kde jsme předem nastínili náš plán ukázat, že gravitace je zakřivení prostoročasu. V tom případě vám jistě připadá zvláštní, že tu najednou mluvíme o gravitaci jen v souvislosti se zakřivením prostoru. My zde ale zatím pouze poukazujeme na jistou podobnost. Brzy si ukážeme, že prostorové zakřivení samo o sobě nestačí a opravdu je třeba uvažovat o zakřivení prostoročasu. Snažíme se jen postupovat pomalu a pořádně.

Obrázek 4.19 Vlevo nahoře: Trajektorie volně se pohybujícího se tělesa je přímka. Za přítomnosti gravitace je ale trajektorie zakřivena.
Vlevo dole a vpravo: Dva příklady situace, kdy vypustíme v gravitačním poli dvě tělesa rovnoběžnými směry. Bez gravitace by jejich trajektorie byly rovnoběžné přímky, za přítomnosti gravitace se tyto zpočátku rovnoběžné trajektorie k sobě přibližují či oddalují, podle směru vypuštění. V obou případech pouze upozorňujeme na jistou podobnost se zakřivenou geometrií. Netvrdíme, že dané chování je přesně stejné.

No dobře, řeknete si. Jistá podobnost mezi neeukleidovskou geometrií a chováním těles v gravitačním poli by tu byla. Ale to není nijak zvlášť přesvědčivý argument, něco podobného bychom mohli tvrdit pro jakoukoli působící sílu, ne? Ve skutečnosti ale ne. V podkapitole o slabém principu ekvivalence jsme si ukázali jednu velmi důležitou vlastnost gravitace – její univerzálnost. S využitím Newtonova gravitačního zákona \eqref{4.1} a experimentálně potvrzované rovnosti gravitační a setrvačné hmotnosti jsme došli k závěru, že v daném místě bude gravitace (na rozdíl například od elektrické síly) na všechna tělesa působit stejně. Vezměme si jako názornou analogii geometrii terénu. Dává nám jistě smysl, že kopec je v nějakém daném místě stejně strmý pro každého a je jedno, zda jdete pěšky, jedete autem nebo na kole. Jak by bylo podivné, kdyby v analogii s elektrickou silou byl kopec ve stejném místě pro různé lidi různě strmý a pro některé by tam vůbec nebyl (jako když na neutrony elektrická síla nepůsobí). Na rozdíl od jiných přírodních sil, spojení geometrie prostoru (ale ve skutečnosti, jak ukážeme později, prostoročasu) a gravitace tedy dává přinejmenším smysl, i když se může zdát na první pohled jako zbytečné komplikování situace. (Mimochodem, ve vší otevřenosti přiznejme, že existuje i fyzikální teorie, která se snaží vysvětlit nejen gravitaci, ale i elektromagnetické působení geometrickým způsobem. Oproti OTR k tomu potřebuje ještě o jednu hypotetickou dimenzi více. Nazývá se Kaluzova-Kleinova teorie. Její platnost ale není obecně uznávána a ani my se jí zde nebudeme věnovat. Zájemci se o ní mohou dozvědět více například na příslušné stránce Wikipedie.)

Další argument podobnosti gravitačního působení a zakřivených ploch či prostorů vychází z principu ekvivalence(i když striktně vzato předchozí argument univerzálnosti gravitace je také jeho důsledkem). Podle něj jsme schopni v každém místě gravitačního pole vytvořit lokální inerciální systém (LIS). Ten má v podstatě jen dvě omezení, musí volně padat a nesmí být příliš rozlehlý. Splníme-li tyto dvě podmínky, účinky gravitace pro nás „zdánlivě“ zmizí. Slovo zdánlivě je zde trochu komplikované. Na jednu stranu pro nás uvnitř LISu doopravdy zmizí účinky gravitace (člověk ve volně padajícím výtahu či v ISS gravitaci doopravdy necítí a nenaměří). Na druhou stranu při pohledu ze zemského povrchu (což je pohled, který se nám jistě neustále vkrádá na mysl, protože jsme na něj tolik zvyklí) stále účinky gravitace na daný LIS vidíme – volným pádem se přibližuje k zemi, anebo je jeho trajektorie zakřivena při pohybu na oběžné dráze. Již jsme se o tomto zdánlivém rozporu způsobeném odlišnými vztažnými soustavami zmínili v poznámce u slabého principu ekvivalence. Pro nás je ale důležitý pohled člověka v LISu. Podstatné nyní je, že jsme teoreticky schopni takových LISů vytvořit v okolí naší planety celou spoustu a pozorovatelé uvnitř nich neucítí gravitaci. Protože jsou ale tyto soustavy lokální, pozorovatelé v jednom LISu nebudou souhlasit se závěry pozorovatelů v jiném. Na obrázku 4.20 vlevo vidíme dvě takové soustavy, které jsme ve stejný okamžik nechali volně padat. Pozorovatelé v obou z nich necítí účinky gravitace a jakékoli těleso (třeba kámen), které vypustí z klidu, vůči nim v klidu zůstane (protože z pohledu Země padají společně, vzpomeňme na princip ekvivalence), ale vůči vždy druhému z dvojice to pravda nebude. Například červený pozorovatel zjevně vidí, jak se kámen vypuštěný modrým pozorovatelem původně z klidu přibližuje. Červený pozorovatel ho tak nemůže zahrnout do své soustavy, protože pak by už nebyla inerciální. Symetrická úvaha platí i pro druhého pozorovatele.

Obrázek 4.20 Pozorovatelé ve dvou lokálních inerciálních systémech v gravitačním poli mají mnoho společného s dvěma vzdálenými pozorovateli na zakřivené ploše, protože pro oba se v dostatečně malém měřítku neprojeví gravitace/zakřivení plochy. Jejich závěry jsou podobné, ale nejsou totožné.

Je to podobné jako když jsme na povrchu koule (obrázek 4.20 vpravo - ale tato úvaha by platila pro jakoukoli zakřivenou plochu, nemá to nic společného s tím, že planety a hvězdy jsou přibližně kulaté). Pokud se zaměříme na dostatečně malé území, budeme si připadat jako v rovině, a i všechna geometrie, kterou si na povrchu vymyslíme, bude fungovat nerozeznatelně od rovinné geometrie – rovnoběžky si udrží stále stejnou vzdálenost, nejkratší spojnice bodů bude úsečka apod. Nebude to zcela přesně pravda, ale odchylky budou tak malé, že to nepoznáme. Ve zcela stejné situaci bude někdo velmi daleko od nás (klidně třeba na opačné polokouli). Také jeho blízké body je možné spojit úsečkou a rovnoběžky zůstávají rovnoběžné, ale jeho rovnoběžky nebudou nikdy rovnoběžné s našimi, ať se snažíme jakkoli (leda, že by stál opravdu přesně na druhé straně sféry). Jinak řečeno, v každém místě sféry můžeme aproximovat povrch rovinou (v naší paralele bychom jí klidně mohli říkat lokální euklidovský systém, což má hezkou zkratku LES, ale těžko byste tento pojem hledali v nějaké odborné literatuře). V podkapitole o sférické geometrii jsme si ukázali, že na Zemi může náš LES být poměrně veliký, například jako velkoměsto, a sférická povaha Země se viditelně neprojeví. Například městští architekti v Berlíně a v Sydney tak mohou (odmyslíme-li si opět zvlnění terénu) klidně svá města považovat za ležící na rovině, ale jejich roviny nejsou vzájemně rovnoběžné. A chcete-li se dostat z Berlína do Sydney, sférická geometrie se už zákonitě projeví (vzpomeňte na obrázek 4.11). Vidíte tu podobnost s LISy a tedy s gravitací?

Připusťme nyní alespoň na chvilku, že na gravitaci se dá dívat jako na zakřivenou geometrii. Ale geometrii čeho vlastně?

Předveďme si to na té nejprimitivnější a přitom nejdůležitější vizualizaci základní myšlenky OTR. Budete k ní potřebovat jen tužku, papír a případně pravítko a nůžky, ale ty nejsou nutně potřeba. Celou situaci vidíme na obrázku 4.21. Vlevo máme připravenou kruhovou výseč, na kterou jsme narýsovali rovnou čáru procházející blízko středu ale ne přímo skrz něj. Rozložená výseč představuje plochý eukleidovský prostor, ve kterém platí zákony staré dobré eukleidovské geometrie. Fyzikálně to znamená, že není přítomno žádné gravitační pole a libovolné volné těleso se bude pohybovat rovnoměrně přímočaře (reprezentováno rovnou čarou). Nyní „zapneme“ gravitaci. Ve středu výseče se objeví například hvězda, která svou gravitací způsobí, že se prostor kolem ní zakřiví. Jak ale toto zakřivení zviditelnit? Stejně jako u zakřivených ploch, rovinu musíme „vytáhnout“ do třetího rozměru. ALE POZOR! Toto vytažení je jen pro naši lepší představu. Neznamená to, že se fyzikální pohyb bude najednou odehrávat i mimo původní rovinu. Když teď tedy zakřivíme kruhovou výseč tím, že z ní složíme plášť kužele (či chcete-li - čepičku), musíme se na trajektorii tělesa stále dívat, jako by byla v původní rovině – to znamená „shora“ (obr 4.21 vpravo).

Obrázek 4.21 Vlevo: Kruhová výseč reprezentující plochý eukleidovský prostor. Bez přítomnosti gravitace se pomyslné těleso pohybuje po přímce (vyznačená rovná čára).
Vpravo: „Zapnutím“ gravitace se prostor kolem gravitujícího tělesa zakřiví, což vizualizujeme složením výseče do pláště kuželu. Vidíme, že se zakřiví i trajektorie tělesa. Na celou situaci je ale třeba se dívat stále jako na dvourozměrnou (pohyb je pořád v původní rovině) – proto se na kužel musíme dívat shora.

Sami si můžete vyzkoušet, že čím víc papír zakřivíte, tím více se zakřiví i nakreslená trajektorie tělesa. Zároveň je úplně jedno, jestli špička pomyslného kužele míří k vám nebo od vás (tj. jestli papír prohnete k sobě nebo od sebe). V obou případech dostáváme stejný výsledek, protože nezáleží na orientaci této plochy, pouze její geometrii. Tato velmi jednoduchá ukázka demonstruje základní myšlenku obecné teorie relativity. Prostor je kolem hmotných těles zakřiven, což způsobuje zakřivení trajektorie pohybujících se těles.

Obecná relativita tedy popisuje gravitaci ne jako přitažlivou sílu působící mezi hmotnými tělesy (což je přístup klasické fyziky), ale právě jako toto zakřivení kolem hmotných těles. Představme si například planetu obíhající kolem hvězdy. Podle klasické fyziky je dráha planety zakřivována přitažlivou gravitační silou od hvězdy, což je našemu chápání docela blízké, ale na druhou stranu, jak jsme rozebírali na začátku kapitoly 4.1, má tento přístup své nedostatky. Podle OTR ve skutečnosti planeta opravdu letí stále „rovně“, ale protože hvězda ve svém okolí zakřivuje prostor, je celková trajektorie planety zakřivena podobně, jako kdybychom šli „stále rovně“ po povrchu koule. Proto se také v OTR i tělesa čistě pod účinkem gravitace nadále nazývají volná, protože jejich pohyb neovlivňuje žádné jiné než gravitační působení, ale to už v našem popisu není silou. Tuto představu ilustruje obrázek 4.22. Na podobné vizualizace můžeme narazit na internetu nebo v literatuře často. Pro lepší čitelnost je v nich prostor reprezentován pouze rovinou. V kapitole 4.3 se k tomuto modelu ještě vrátíme a ukážeme jeho přímou souvislost s relativistickými výpočty.

Obrázek 4.22 Vlevo: Podle OTR je prostor bez přítomnosti hmotných zdrojů nezakřivený (tzv. plochý) a všechna volná tělesa (dostatečně málo hmotná, abychom mohli zanedbat jejich vliv na zakřivení) se v něm budou pohybovat po přímkách.
Vpravo: V okolí gravitujících těles je prostor zakřivený, tj. jeho samotná geometrie není eukleidovská. Důsledkem toho se trajektorie volných těles (například planet v okolí hvězdy) zakřivuje, ačkoli se lokálně pohybují rovně.

Jistě se to zdá jako velký myšlenkový skok a je klidně možné, že si na tuto myšlenku budete muset chvíli zvykat. Na tom není nic špatného. Zakřivený prostor je fascinující představa, která se ale představuje velmi špatně. A bude to ještě zajímavější. Náš popis gravitace jako zakřivení prostoru totiž nevysvětluje zdaleka vše potřebné. Stačí si totiž vzít ten nejjednodušší druh pohybu v gravitačním poli – volný pád – a najednou jsme v úzkých. Na kuželu jsme totiž demonstrovali, že trajektorie pohybujícího se tělesa může být díky neeukleidovské geometrii prostoru zakřivena. Co když se ale těleso nehýbe? Když na kuželu uděláte tečku reprezentující těleso v klidu, nezačne se samo od sebe pohybovat. Nemá k tomu důvod! Nedokážeme tedy vysvětlit tu naši naprosto běžnou lidskou zkušenost, že pokud pustíme těleso z klidu, začne padat k zemi. A to by jistě nebyla dobrá teorie gravitace, kdyby nedokázala vysvětlit ani volný pád. Naštěstí to snadno napravíme. Už od začátku našeho povídání jsme mnohokrát zdůrazňovali, že relativita se zabývá prostorem i časem. A když už jsme nakousli podivné chování prostoru, je třeba dodat i čas.

Gravitační dilatace času

Vstřebat tak abstraktní pojem jako zakřivení prostoru jistě není jednoduché, nicméně se zakřivením prostoročasu je to ještě složitější. Ačkoli to z fyzikálního hlediska nedává tak dobrý smysl, pro lepší pochopení jsme si celou situaci rozdělili. Stejně jako jsme mluvili o zakřivení prostoru, zaměřme se nyní na zakřivení času. I když zakřivení… Ve spojitosti s časem, o kterém nemáme vůbec tendenci uvažovat geometricky, je toto slovo trochu neobratné. Vhodnější výraz je dilatace času. Tu už jsme vlastně potkali ve speciální relativitě. Patrně nejdůležitější a nepodivnější předpověď STR byla, že navzájem se pohybujícím inerciálním pozorovatelům nebude shodně plynout čas. OTR přidává další způsob, jak se vám i mně mohou rozejít i sebepečlivěji synchronizované hodinky, a samozřejmě bude nějak souviset s gravitací. Abychom tyto dvě dilatace času odlišili, nazvěme tu způsobenou vzájemným pohybem kinematická a tu, o níž se budeme bavit nyní, gravitační.

Začněme popisem reálného experimentu. V roce 1959 pánové Pound a Rebka na harvardské univerzitě provedli na první pohled velmi zvláštní pokus. U střechy své laboratoře umístili vysílač elektromagnetického záření (jednalo se konkrétně o gama záření vysílané radioaktivním izotopem železa \({}^{57}\text{Fe}\)) a pod něj ve svislé vzdálenosti \(22{,}5\:\text{m}\) umístili přijímač. Samozřejmě zde hodně zjednodušujeme, protože konkrétní detaily provedení experimentu nejsou pro naše povídání podstatné, rozhodně ale stojí za pročtení například na Wikipedii. Podstatné pro nás je, že umístění vysílače a přijímače v různé výšce nad zemí způsobilo, že přijímač zachytil jinou frekvenci elektromagnetického záření, než jaká vycházela z vysílače. Nejenom, že tuto změnu naměřili, ale ta i v rámci přesnosti měření odpovídala teoretické předpovědi obecné relativity. A tak abychom pochopili, co má společného gravitace, změna ve frekvenci elektromagnetického vlnění a podivné chování času, pojďme si celou situaci blíže rozebrat.

Obrázek 4.23 Ilustrace vysvětlení Poundova-Rebkova experimentu pomocí volně padajícího LISu. Detailní popis je uveden v textu.

Na obrázku 4.23 máme náčrtek situace. Využijeme opět pohled z lokální inerciální soustavy, kterou reprezentujeme volně padajícím výtahem. Abychom si situaci trochu zjednodušili, představme si, že LIS začíná volně padat v okamžiku \(t_1\), kdy vysílač vyšle EM vlnění o nějaké frekvenci \(f_1\). Jak už víme, uvnitř LISu nejsme pod vlivem gravitace, a proto se na experiment můžeme dívat očima speciální relativity. Podle jednoho z jejích základních postulátů se vůči nám EM záření pohybuje konstantní rychlostí c. O chvilku později, v čase \(t_2\), dopadá paprsek do přijímače u paty aparatury. Díváme-li se na situaci ze země, pohybuje se LIS podle fyziky volného pádu v okamžiku \(t_2\) rychlostí \(v(t_2)=g(t_2-t_1)=g\Delta t\) (obrázek 4.24 vlevo). Podle výsledku experimentu přijímač naměří jinou frekvenci přicházejícího EM vlnění, než byla vyslána, označme ji \(f_2\). Abychom ale pochopili proč tomu tak je, musíme se na situaci podívat právě z pohledu LISu (obrázek 4.24 vpravo). Protože pohyb je relativní, z padající soustavy pozorujeme, že je to země a s ní i přijímač, kdo se pohybuje směrem vzhůru rychlostí stejně velkou, ale opačnou, než je rychlost pádu výtahu vůči zemi. Jak už víme, EM vlnění se vůči nám v souladu se speciální relativitou pohybuje jednoduše rovnoměrně přímočaře svou stále stejnou rychlostí \(c\), ale vidíme, jak se přijímač pohybuje vlnění naproti. To je jeden z případů, kdy dochází k tzv. Dopplerovu jevu . Tak nazýváme měřitelnou změnu frekvence vlnění, pokud se pohybujeme vůči jeho zdroji či pokud se zdroj pohybuje vůči nám (případně obojí najednou). Nejčastěji zažíváme Dopplerův jev u zvuku kolem projíždějících aut (například u sirény ambulance je to dobře slyšet). Jak se k nám zdroj zvuku blíží, frekvence, kterou slyšíme (tj. kterou naměříme), se zvýší a jakmile auto projede kolem a začíná se vzdalovat, frekvence klesne (a je to právě ta prudká změna ze zvýšené na sníženou frekvenci, kterou nejvíce vnímáme). Podobně to funguje, i když bychom se vůči zdroji pohybovali my. Není to ale tak, že by například zmíněná siréna měnila výšku svého zvuku, rozdíl mezi vysílanou a naměřenou frekvencí je právě dán tím vzájemným pohybem, jak ilustruje například toto video. Proč k tomu dochází, je poměrně podrobně vysvětleno na odkazované stránce, takže se tím nyní nebudeme zdržovat. I když Dopplerův jev typicky známe právě ve spojení se zvukem, týká se každého druhu vlnění, tedy i toho elektromagnetického. Posun frekvence u světla a dalšího EM vlnění způsobený vzájemným pohybem je dobře znám například astronomům, kteří pomocí něj měří mimo jiné rotační rychlost hvězd nebo relativní rychlost vzdálených galaxií vůči Zemi.

Obrázek 4.24 Vlevo: Z pohledu ze země padá výtah volným pádem kolem detektoru rychlostí \(v=g\Delta t\). Detektor v experimentu naměřil jinou frekvenci EM vlnění, než byla vyslána vysílačem, ale není jasné, proč tomu tak je.
Vpravo: Pohled na stejnou situaci zevnitř LISu. Odsud pozorujeme, že světlo se v souladu s postuláty STR pohybuje jednoduše konstantní rychlostí \(c\), a právě země spolu s přijímačem (s vysílačem samozřejmě taky, ale ten jsme už nechali za sebou) se pohybuje vzhůru rychlostí přesně opačnou, než s jakou se vůči zemi pohybuje výtah. Z fyziky vlnění plyne, že přístroj pak naměří vyšší frekvenci čistě díky tomuto vzájemnému pohybu, jak popisuje tzv. Dopplerův jev. Délka pohybu v obou případech je pro názornost silně přehnána.

Podle teorie Dopplerova jevu bude frekvence EM vlnění naměřená pozorovatelem/detektorem pohybujícím se rychlostí \(v\) \begin{equation*}\tag{4.8}\label{4.8} f_2=f_1\left(1+\frac{v}{c}\right), \end{equation*} kde \(c\) je naše stará známá rychlost EM vlnění a \(f_1\) je, jak už je řečeno výše, původní frekvence vyslaná zdrojem. Naměřená frekvence tedy bude větší než vyslaná, protože v závorce je znaménko plus. V případě EM vlnění se toto zvýšení frekvence nazývá modrý posuv (blue-shift), protože vzpomeneme-li si na obrázek elektromagnetického spektra na začátku třetí části, můžeme si všimnout, že zvýšení frekvence u světla vede ke změně barvy směrem k modrému okraji viditelného spektra (ve skutečnosti k fialovému okraji spektra, ale ustálilo se označení modrý posuv – pravděpodobně proto, že lidské oko není tolik citlivé na fialovou barvu a tak minimálně v historii nebývala při experimentech fialová část spektra tak dobře viditelná pouhým okem). Ale pozor, modrý posuv neznamená zbarvení do modra, například u zmíněného gama záření nemůže být o nějaké barvě řeč, je to prostě jen označení pro naměřené zvýšení frekvence EM vlnění způsobené vzájemným pohybem zdroje a pozorovatele (například světlo vzdálených hvězd, které se k nám přibližují, vykazuje modrý posuv). Anebo, jak jsme nyní viděli, ho může způsobit i gravitace. Jednoduše řečeno, „padá-li“ světlo v gravitačním poli, naměříme jeho frekvenci vyšší, než s jakou bylo vysláno zdrojem.

Celá situace funguje ale i obráceně. Pokud bychom v Poundově-Rebkově experimentu umístili vysílač dolů a nechali světlo „šplhat“ gravitačním polem vzhůru, zachytí detektor jeho frekvenci menší. V analogii s prvním případem se této situaci říká rudý posuv (red-shift). Například díky změřenému rudému posuvu světla přicházejícího z většiny vzdálených galaxií astronomové poprvé usoudili, že se od nás většina galaxií vzdaluje – jedná se tedy o rudý posuv způsobený vzájemným pohybem nás a dané galaxie. A protože se ukázalo, že typicky čím je od nás nějaká galaxie dále, tím rychleji se od nás vzdaluje (z naměřeného rudého posuvu se dá naše vzájemná rychlost vypočítat), vedla tato měření v první polovině dvacátého století k vyslovení hypotézy o rozpínání vesmíru. To už ale moc odbíháme.

Vzorec \eqref{4.8} můžeme dále pro náš případ upravit. Rychlost přijímače v okamžiku \(t_2\) je podle pozorovatele v padající soustavě \(v=g\Delta t\). Zároveň víme, že \(\Delta t\) je čas letu EM vlnění mezi vysílačem a přijímačem. Pokud jejich vzájemnou vzdálenost (tedy jejich výškový rozdíl) označíme jako \(h\), platí pro čas letu paprsku \(\Delta t=h/c\). Dohromady \begin{equation*}\tag{4.9}\label{4.9} f_2=f_1\left(1+\frac{gh}{c^2}\right). \end{equation*} Zkusme si rychlý odhad. V Poundově-Rebkově experimentu bylo \(h=22{,}5\:\text{m}\). Relativní změna frekvence podle \eqref{4.9} pak bude \begin{equation*} \frac{\Delta f}{f_1}=\frac{f_2-f_1}{f_1}=\frac{gh}{c^2}\dot{=}2{,}5\cdot10^{-15}, \end{equation*} neboli \(250\) biliardtin procenta. To je opravdu neuvěřitelně malá změna a ukazuje nejenom, jak jsou tyto změny v našich podmínkách pozemské gravitace miniaturní, ale hlavně jak precizně a chytře musel být celý experiment proveden, aby bylo možné něco takového naměřit.

Teď ale přichází ta zásadní úvaha. Jak souvisí podivné chování EM vlnění pod vlivem gravitace a běh času? Předně si musíme uvědomit, co to vlastně znamená frekvence vlnění. Není to ve své podstatě nic jiného než počet vrcholků vlny, které zachytíme za jednu sekundu. Když slyšíme zvuk o frekvenci \(100\:\text{Hz}\), znamená to, že na náš ušní bubínek naráží rozkmitaný vzduch stokrát za sekundu. Střídavé napětí v zásuvkách kmitá s frekvencí \(50\:\text{Hz}\), takže padesátkrát za sekundu dosáhne svého maxima. Když tedy říkáme, že vysílač vyšle signál o frekvenci \(f_1\), máme tím na mysli, že \(f_1\) krát za sekundu nastane „hřbet“ vyslané světelné vlny. Cestou k přijímači se ale tyto „hřbety“ nemají kam ztratit. Po cestě není žádná překážka, která by ovlivnila průběh vlny samotné. Jestliže přijímač naměří vyšší frekvenci, to znamená více vrcholů vlny za sekundu, znamená to, že má delší sekundu než vysílač. Jak jinak si tento úbytek frekvence vysvětlit. Delší sekunda znamená pomaleji plynoucí čas (zatímco někde jinde uplyne \(60\) sekund, zde uplyne třeba jen \(58\)). To je to, čemu říkáme gravitační dilatace času. Jedná se o čistě gravitační efekt, nikoli o nám již známou dilataci času ze speciální relativity způsobenou vzájemným pohybem. Tu jsme zde mimochodem pro snadnější pochopení situace zanedbali, protože vzájemná rychlost dvou uvažovaných soustav je po celou uvažovanou dobu experimentu velmi malá, což si čtenář jistě rychlým výpočtem s využitím vzorců výše dokáže ověřit sám.

Povrch koule podruhé

Posledních několik podkapitol jsme se seznamovali s hlavní myšlenkou obecné relativity kvalitativně. Naše úvahy byly co nejnázornější, ale přesto se jednalo jen o takové rozjímání nad problematikou. Nastal čas si přidat také trochu matematiky. Pokud totiž chceme něco i relativisticky spočítat, budeme muset chtě nechtě nahlédnout do matematického popisu křivosti. Samozřejmě nepůjdeme cestou plného matematického aparátu, který spadá už čistě do vysokoškolské matematiky. Pro naše účely si opět vystačíme s popisem co nejjednodušším a znovu půjdeme stejnou cestou jako dosud. Pokusíme se ukázat základní matematické zákonitosti používané u zakřivených ploch, které pak zobecníme na zakřivené prostory a prostoročas. Rozhodně z toho ale nemějte obavy a nevěšte hlavu, pokud vám to místy bude připadat těžké. Nemusíte nutně chápat vše, co si zde budeme říkat. Přece jen se jedná o dost abstraktní matematické myšlenky, které dávají zpočátku zabrat i vysokoškolákům. Matematikové nám tedy jistě prominou, když se oprostíme od přesných matematických definic a místo toho se pokusíme vše pojmout pokud možno co nejnázorněji. Berte tak následující podkapitoly jako snahu balancovat na hranici mezi názorností a rigorózním matematickým popisem. Uvidíme různá matematická tvrzení, jejichž odvození jsou povětšinou schována v rozbalovacích oknech pro zájemce. Rozhodně ale není nutné, abyste je znali. Jistě vám bude k užitku, pokud už někdy narazili na pojmy jako derivace nebo integrál (na které stejně ale většinou vyjma výběrového semináře z matematiky na střední škole už moc nenarazíme), ale rozhodně to není nezbytné. Nyní tedy zpět ke sféře…

Na první pohled se nám sféra může zdát jako trojrozměrný objekt. Rozprostírá se přeci tak nějak do všech směrů v prostoru. Když si umístíme sféru do kartézské souřadné soustavy, můžeme každému bodu sféry přiřadit tři souřadnice \([x,y,z]\) (obrázek 4.27 vlevo). Ve skutečnosti nám ale k úplnému popisu sféry stačí souřadnice dvě, podobně jako tomu je v rovině. Z definice se tedy nutně jedná o dvourozměrný objekt – plochu. Je to dáno tím, že kartézské souřadnice bodů na sféře nemohou být libovolné, jsou svázány dohromady vazebnou podmínkou \begin{equation*}\label{4.10}\tag{4.10} x^2+y^2+z^2=R^2, \end{equation*} kde \(x,y,z\) jsou souřadnice jednoho konkrétního bodu a \(R\) je poloměr sféry. Pro odvození podmínky \eqref{4.10} stačí, abyste si připomněli definici kartézských souřadnic z první části a následně trojrozměrnou Pythagorovu větu. Výsledek se dostaví okamžitě. Znamená to tedy, že pro určení bodu na sféře nemáme tři nezávislé souřadnice, ale pouze dvě. Třetí pak (až na znaménko) plyne z rovnice \eqref{4.10}. Také je z ní vidět, proč nemůžeme kouli reprezentovat jako 3D graf podobně jako jsme to udělali u hyperbolického paraboloidu. Když bychom totiž chtěli vyjádřit například souřadnici \(z\) pomocí ostatních, jako se to konvenčně dělává, dostáváme po odmocnění \(z=\pm\sqrt{R^2-x^2-y^2}\). Pro libovolný bod \([x,y]\) se souřadnicemi v intervalu \(\langle-R;R\rangle\) tedy máme dvě řešení odpovídající bodu nad a pod rovinou \(xy\), což odporuje nutné podmínce pro funkce, podle které musíme mít pro daný vstup pouze jeden výstup. Sféra se tedy nedá reprezentovat jako jeden 3D graf.

Obrázek 4.27 Vlevo: Tři kartézské souřadnice bodů na sféře nejsou nezávislé, jsou spojeny vazbou vyplývající z trojrozměrné Pythagorovy věty.
Vpravo: Ukázka zavedení úhlových souřadnic na sféře.

Jak už víme, geometrie na sféře a v rovině, byť obě vyžadují pro svůj popis dvě souřadnice, nejsou stejné. Již jsme se zmínili o komplikacích, které z toho plynou pro kartografy, a i my v dalším odvozování využijeme pro názornost naše zeměpisné znalosti, totiž zeměpisnou šířku a délku. Pomocí těchto dvou úhlů můžeme popsat polohu libovolného místa na Zemi (nadmořskou výšku v našich plošných úvahách vynecháme – bavíme se přeci jen o povrchu jednoduché sféry). Zeměpisná šířka má rozsah od \(90^°\) jižní zeměpisné šířky (jižní pól), přes \(0^°\) (rovník) až po \(90^°\) severní zeměpisné šířky (severní pól). Přesněji řečeno, jedná se o úhel mezi pomyslnou spojnicí popisovaného bodu se středem Země a rovníkem, kdy tento úhel bereme jako záporný pro jižní polokouli a kladný pro tu severní. Podobně zeměpisná délka jde od \(-180^°\) (západní směr) do \(180^°\) (východní směr), což je ve skutečnosti úhel odečítaný na rovníku mezi nultým poledníkem (který jak známo prochází anglickým Greenwichem) a poledníkem procházejícím bodem, který popisujeme. Například Praha se rozkládá přibližně na \(50^°5'14''\) severní šířky a \(14^°25'16''\) východní délky.

V matematice ale častěji zavádíme tyto sférické úhly trochu jinak. Nezabýváme-li se přímo geografií, jsou záporné hodnoty úhlů přece jen zbytečné. Usnadníme si tedy trochu život tím, že budeme měřit úhel \(\theta\) (zeměpisnou šířku) ne od rovníku, ale od severního pólu. Bude tak nabývat hodnot \(0^°\) až \(180^°\). Podobně budeme u zeměpisné šířky, tedy úhlu \(\varphi\), uvažovat rozsah \(0^°\) až \(360^°\) (obrázek 4.27 vpravo). Prakticky se pro nás téměř nic nezmění, stále si můžeme úhly představovat jako zeměpisnou šířku a délku, tuto informaci v sobě stále obsahují. Ale vzorce a odvození, která ještě potkáme, budou díky této volbě odpovídat vzorcům, které častěji potkáte i jinde v matematice. Většinou se prostě vyplatí držet se rozšířených (nejen matematických) konvencí.

Máme tedy dvě úhlové souřadnice pro popis polohy na této konkrétní zakřivené ploše. To, co ale typicky potřebujeme nejvíce, je umět určovat vzdálenosti. Jenže jak se to dělá u úhlových souřadnic?

Obrázek 4.31 Měření vzdáleností na nafukovacím míči.

Po všem, co jsme si řekli o sférické geometrii, nás asi nepřekvapí, že s přímou aplikací Pythagorovy věty na příslušné oblouky (byť tvořící pravý úhel) moc daleko nedojdeme. Koneckonců, platnost Pythagorovy věty je přímým důsledkem axiomů eukleidovské geometrie, která na sféře neplatí. Můžeme si to dokonce vyzkoušet přímo pomocí reálného modelu. Vezměme si k ruce míč či jiný model koule, který jsme využívali v podkapitole „Povrch koule poprvé“. Velmi výhodné je použít glóbus, protože jsou na něm rovnoběžky a poledníky rovnou nakresleny (obrázek 4.31). Pokud glóbus k dispozici nemáme, nemusíme nutně črtat celou souřadnicovou síť, stačí jen její část. Na našem modelu si vždy vybereme dva body a přímo změříme jejich vzdálenost například pomocí provázku. Zároveň změříme délky příslušných oblouků na konstantní zeměpisné šířce a délce, jako je vyznačeno na obrázku. Pro jednoduchost jsme vybrali vždy dvojice bodů, kdy jeden leží na rovníku (\(\theta=90^°\)) a druhý na nultém poledníku (\(\varphi=0^°\)). Abychom byli precizní, budeme měřit příslušné vzdálenosti na obou rovnoběžkách, jak je vyznačeno v obrázku. V tabulce 4.1 máme shrnutí, jak se skutečná naměřená vzdálenost mezi body \(\Delta s_{\text{měř}}\) liší od té, kterou dostaneme (samozřejmě neoprávněným) přímým použitím Pythagorovy věty:

Detailnější popis měření a naměřených hodnot si můžete rozbalit níže. Pro nás jsou nyní důležité poslední dva sloupce tabulky. Ukazují relativní odchylku skutečné naměřené vzdálenosti od použití Pythagorovy věty pro severnější a jižnější cestu (blíže komentováno v rozbalovacím popisu níže). Z uvedených čísel vidíme, že čím jsou vybrané body blíže k sobě, tím se relativní chyba zmenšuje. Naše zjištění samozřejmě není tak moc překvapivé, když si uvědomíme, že ačkoli je například povrch naší planety přibližně sférický, přesto na něm Pythagorovu větu (či obecně eukleidovskou geometrii) běžně používáme. Například ve stavebnictví tvoří naprosto zásadní pomůcku, jak vytvářet pravé úhly. Souvisí to samozřejmě s velikostí naší planety. Pokud se oprostíme od nerovností zemského povrchu, je sice, jak už víme, jakákoli „rovná“ čára na povrchu Země ve skutečnosti částí kružnice, ale pro dostatečně malé vzdálenosti ji jen velmi stěží odlišíme od úsečky. Jak malé? Jednoduchým výpočtem bychom zjistili, že pokud bychom si jako hranici přesnosti stanovili \(0{,}1\%\), mohli bychom za rovné považovat čáry dlouhé téměř \(740\:\text{km}\)! Pro srovnání, tato hodnota odpovídá silniční vzdálenosti z Prahy do Lucemburska. A i v tomto případě bychom se dopustili chyby jen necelý km. Tohle je přesně ten důvod, proč se nám Země zdá placatá a proč si to bohužel i v dnešní době někteří lidé stále myslí. Každá koule, pokud budeme pracovat s dostatečně malým úsekem, se bude jevit jako placatá a naše planeta je v lidských měřítkách opravdu velká.

Připusťme tedy nyní, že pro dostatečně blízké body můžeme na sféře Pythagorovu větu opravdu použít. S použitím délek oblouků vytyčených na rovnoběžkách a polednících tak dostáváme pro vzdálenost dvou blízkých bodů na sféře o poloměru \(R\) \begin{equation*}\label{4.12}\tag{4.12} (\Delta{}s)^2 \dot{=}(R\Delta\theta)^2+(R\sin{\theta}\Delta\varphi)^2 \qquad \text{(blízké body).} \end{equation*} Tento vztah je, striktně vzato, nejednoznačný, protože zde neurčujeme, které θ se používá. Protože jsme ale viděli, že se zmenšující se vzdáleností bodů se k sobě délky „horní“ a „dolní“ cesty blížily, můžeme v našem přiblížení blízkých bodů vzít kteroukoli ze dvou hodnot, případně jejich průměrnou hodnotu, tj. \(\theta=(\theta_P+\theta_Q)/2\). Abychom nemuseli neustále používat znaménka přibližně, zaveďme si konvenci značení pro „dostatečně malé rozdíly“. Namísto konečné změny \(\Delta\) budeme psát \(\text{d}\), tedy například \(\text{d}s\). Máme tím na mysli, že daná změna je dostatečně malá na to, abychom mohli na dané křivé ploše použít jednoduchou Pythagorovu větu. Rovnice \eqref{4.12} pak bude vypadat \begin{equation*}\label{4.13}\tag{4.13} (\text{d}s)^2=R^2(\text{d}θ)^2+R^2\sin^2{\theta}(d\varphi)^2. \end{equation*}

Metrika je základ

Vztah \eqref{4.12} nám prakticky říká dvě věci. Za prvé, což nás vcelku nepřekvapuje, že Pythagorova věta ve své klasické formě na sféře nefunguje. Za druhé, že její „funkčnost“ můžeme zachránit, pokud se budeme věnovat dostatečně malým situacím (vzpomínáte na lokální inerciální systémy?) a zároveň pokud budeme používat souřadnice správně popisující danou plochu. Druhý požadavek je neméně důležitý; viděli jsme, že kartézské souřadnice by na celé sféře nefungovaly. Důsledkem ale je, že se nám v této „zobecněné Pythagorově větě“ objevily koeficienty u přírůstků souřadnic. A podobně, jako jsme rovnici \eqref{4.12} odvodili pro sféru, bychom to mohli udělat pro libovolnou jinou plochu (a níže si ukážeme několik dalších příkladů). Ukazuje se, že tvar tohoto vztahu v sobě obsahuje v podstatě vše důležité o vnitřní geometrii dané plochy. Má proto taky svůj vlastní název – metrika. Jedná se v podstatě o předpis, jak spočítat v daných souřadnicích respektujících geometrii plochy vzdálenost dvou nekonečně blízkých bodů. Nezapomínejme ale, že prakticky vždy je pro nás důležitá konečná vzdálenost, kterou počítáme „slepením“ těchto nekonečně malých kousků dohromady (tj. integrací). A ačkoli se jedná o technicky komplikovaný matematický proces, kterému se zde nevěnujeme, je snad vcelku jasné, že konkrétní forma těchto „malých kousků“, tzn. tvar metriky, je důležitá, protože ovlivní celkový výsledek.

Není jednoduché ukázat, že metrika v sobě opravdu obsahuje vše důležité o vnitřní geometrii plochy. Zkusme si to alespoň, jak je naším zvykem, rozmyslet na jednoduchém příkladu. Metrika nám umožňuje počítat vzdálenosti v dané ploše mezi libovolnými dvěma body. Pokud bychom chtěli například zreprodukovat tvar nějaké komplikované plochy, mohli bychom si na ploše vyznačit zvolené množství bodů a změřit jejich vzájemné vzdálenosti. Výsledkem by byla tabulka vzdáleností pro každou dvojici. Je asi zřejmé, že čím přesněji chceme danou plochu zreprodukovat, tím více bodů na to potřebujeme, ale o to zdlouhavější celý proces bude. Abychom se zbytečně nezahlcovali, ukažme si příklad čtyř bodů \(K,L,M,N\), jejichž vzájemné vzdálenosti jsou v tabulce 4.2.

Diagonála je pochopitelně prázdná, protože neuvažujeme vzdálenosti bodu od sebe samotného, respektive psát tam nuly by bylo zbytečné. Zároveň nepotřebujeme vyplňovat políčka pod diagonálou, protože se jedná o stejné hodnoty jako nad ní. Pro čtyři body tedy máme šest hodnot vzájemných vzdáleností. Sami si můžete rozmyslet, že pro \(n\) bodů bychom měli \((n^2-n)/2\) hodnot (stačí se zadívat na tabulku). Nyní si zkusme odpovědět na otázku: jsou všechny čtyři body v jedné rovině? Určitě existují různé způsoby, jak to zjistit. Nejsnazší to ale bude prostě vyzkoušet, tj. postupně umisťovat body v souladu se zadanými vzdálenostmi, jak to vidíme na obrázku 4.33.

Obrázek 4.33 Postupné vykreslování bodů podle jejich zadaných vzájemných vzdáleností.

1. Začneme bodem \(K\), který umístíme naprosto libovolně v naší rovině (papíru). Bod \(L\) můžeme umístit libovolně na kružnici se středem v bodě \(K\) a poloměrem \(40\:\text{mm}\), tím splníme podmínku vzdálenosti \(|KL|=40\:\text{mm}\).
2. Abychom našli bod \(M\), postup zopakujeme pro dvě kružnice se středy v bodech \(K\) a \(L\) a příslušných poloměrech. Kružnice se protínají ve dvou bodech. My si vybereme jeden z nich a je jedno který, protože dvě příslušná řešení jsou navzájem osově symetrická, takže se z našeho pohledu prakticky neliší. Zatím jsme nemuseli pracovat prostorově (tj. místo kružnic použít sféry), protože už ze středoškolské geometrie víme, že libovolnými třemi body v prostoru, neleží-li na stejné přímce, lze jednoznačně proložit rovinu.
3. Když ale zkusíme do roviny umístit bod \(N\), najednou zjistíme, že není možné najít v dané rovině bod, který by byl vzdálený \(35\:\text{mm}\) od bodu \(K\) a zároveň \(50\:\text{mm}\) od bodu \(L\) a zároveň \(30\:\text{mm}\) od bodu \(M\). Kružnice se neprotnou v žádném bodě všechny najednou. Bod \(N\) tedy nutně leží mimo rovinu určenou body \(K,L,M\).
4. Abychom našli bod \(N\), musíme tedy místo kružnic použít sféry (které na obrázku pro přehlednost nevykreslujeme), princip je ale podobný jako u kružnic. Sféry by se nám protnuly opět ve dvou bodech, „nad“ a „pod“ rovinou, stačí si vybrat jeden z nich, podobně jako u bodu \(M\).

Ať už tedy body \(K,L,M\) a \(N\) leží na jakékoli ploše, rozhodně to není rovina. Samozřejmě, pokud bychom tuto plochu chtěli nějak přesněji zreprodukovat, potřebovali bychom více informací, tzn. více bodů. To už dělat nebudeme. Chtěli jsme pouze ukázat, že ze znalosti vzájemných vzdáleností bodů je v principu možné zreprodukovat jakoukoli plochu libovolně přesně. A protože metrika dané plochy je obecně nástrojem pro výpočet vzdáleností mezi body na této ploše, obsahuje tedy v sobě všechny potřebné informace o její vnitřní geometrii.

Když už jsme u té roviny, ukažme si ještě, že pro určité souřadnice nemusí být v metrice dokonce ani konstantní koeficienty a přesto se jedná o rovinu. Takovým příkladem jsou polární souřadnice, kdy každý bod roviny popisujeme místo dvou kolmých vzdáleností \((x,y)\) pomocí vzdálenosti od počátku \(r\) a úhlu \(\varphi\) mezi osou \(x\) a příslušnou spojnicí bodu s počátkem (jak vidíme na obrázku 4.35 vlevo). Z obrázku je také vidět vztah mezi jednotlivými souřadnicemi (tj. daná transformace): \begin{align*}\tag{4.16}\label{4.16} x(r,\varphi)=r\cos{\varphi}, \qquad y(r,\varphi)=r\sin{\varphi}. \end{align*}

Obrázek 4.35 Vlevo: Porovnání kartézských souřadnic \((x,y)\) a polárních souřadnic \((r,\varphi)\).
Vpravo: K odvození vzdálenosti dvou blízkých bodů pomocí rozdílů polárních souřadnic.

Příslušnou metriku můžeme uhádnout opět přibližnou aplikací Pythagorovy věty na dva dostatečně blízké body. Celý postup je analogický k odvození metriky na sféře. Blízké body dělí radiální vzdálenost \(\text{d}r=r_B-r_A\) a úhel \(\text{d}\varphi=\varphi_A-\varphi_B\). Stejně jako na sféře nám nestačí úhel, ale potřebujeme délku příslušného oblouku, a ten dostaneme vynásobením úhlu \(\text{d}\varphi\) příslušným poloměrem, přičemž je jedno, kterou ze souřadnic \(r\) použijeme, protože pro dostatečně blízké body dostáváme stejný výsledek (vzpomeňte na tabulku 4.1). Celkem bude tedy metrika roviny v polárních souřadnicích \begin{equation*}\tag{4.17}\label{4.17} (\text{d}s)^2=(\text{d}r)^2+r^2(\text{d}\varphi)^2. \end{equation*} Ani zde nám nevyšel žádný smíšený člen, protože souřadnice \(r\) a \(\varphi\) jsou na sebe kolmé, respektive kolmé jsou křivky konstantních souřadnic (kružnice pro \(r=konst\) a polopřímka vycházející z počátku pro \(\varphi=konst\)). Na rozdíl od kartézské metriky \eqref{4.14} máme u jednoho z kvadrátů nekonstantní koeficient, což jsme už viděli u metriky na sféře a je to typický znak zakřivené plochy. Na druhou stranu, jak můžeme vidět v tomto případě, nemusí to být pravda vždy. Může se jednat jen o důsledek definice daných křivočarých souřadnic. Připomeňme, že pravou zkouškou, jak poznat, že daná metrika patří rovině je, dá-li se vhodnou transformací souřadnic převést na tvar \eqref{4.14}. Pomocí \eqref{4.16} skutečně jde metriku \eqref{4.17} transformovat, ale protože je k tomu potřeba znalost derivací, mohou si zájemci rozbalit toto odvození níže.

Naším cílem je ukázat ekvivalenci metrik \eqref{4.14} a \eqref{4.17}. Začneme tím jednodušším, tj. přechodem z kartézské metriky na polární. K tomu již známe správnou transformaci \eqref{4.16}. Tato transformace nám udává vztahy mezi souřadnicemi konkrétního bodu, ale my potřebujeme vztahy mezi rozdíly souřadnic. Situace zde již není tak jednoduchá jako u přechodu mezi kartézskými a kosými souřadnicemi, protože transformace \eqref{4.16} není lineární ve \(\varphi\) a proto se zde už budeme muset zabývat nekonečně malými přírůstky. Pro lepší názornost zkusíme tyto vztahy nejdříve odhadnout z obrázku níže a následně si ukážeme, jak se počítají pořádněji. Na obrázku vidíme dvě zjednodušené situace. Vlevo dva body lišící se pouze radiální souřadnicí a vpravo dva lišící se pouze úhlovou souřadnicí. Na levém obrázku vidíme hned v pravoúhlém trojúhelníku vztahy mezi přírůstky souřadnic \(\Delta x=\Delta r\cos{⁡\varphi}\) a \(\Delta y=\Delta r\sin{⁡\varphi}\) (které bychom dostali přímo z transformace \eqref{4.15} právě za předpokladu \(\varphi=konst\)). A tyto vztahy zůstanou v platnosti i když se budeme s body k sobě libovolně přibližovat, takže pro infinitezimálně blízké body máme jednoduše \(\text{d}x=\text{d}r\cos{⁡\varphi}\) a \(\text{d}y=\text{d}r\sin{⁡\varphi}\). Na pravém obrázku už je situace složitější, nějaký jasný vztah mezi přírůstky souřadnic jen tak snadno nenajdeme. Tak si ho budeme muset vytvořit. S využitím transformace \eqref{4.15} můžeme psát například \(\Delta x=r(\cos{\varphi_2}-\cos⁡{\varphi_1})\), což nám zatím moc nepomůže. Pravou stranu ale můžeme dále rozšířit pomocí výrazu \(\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1\) na následující tvar: \begin{equation*} \Delta x=r\frac{\cos⁡{\varphi_1}-\cos{\varphi_2}}{\Delta\varphi}\Delta\varphi. \end{equation*} Pokud nyní přejdeme pomocí limity k infinitezimálnímu posunutí o \(\text{d}\varphi\) místo o konečně velké \(\Delta\varphi\), ze zlomku se stane podle definice derivace: \begin{equation*} \text{d}x=\lim_{\Delta\varphi\rightarrow 0}\Delta x=\lim_{\Delta\varphi\rightarrow 0}⁡r\frac{\cos{\varphi_1}-\cos{⁡\varphi_2}}{\Delta\varphi}\Delta\varphi=r\frac{\text{d}(\cos{\varphi})}{\text{d}\varphi}\text{d}\varphi=-r\sin{⁡\varphi}\:\text{d}\varphi, \end{equation*} kde jsme využili známý fakt, že derivace funkce kosinus je mínus sinus. Přiblížením bodů k sobě se jejich původní úhlové souřadnice \(\varphi_1\) a \(\varphi_2\) přibližující k jedné společné \(\varphi\), takže mezi nimi nemusíme rozlišovat. Stejným způsobem bychom dostali \(\text{d}y=r\cos{⁡\varphi}\:\text{d}\varphi\).

Obrázek 4.34a Vlevo: Vztah rozdílů kartézských a polárních souřadnic dvojice bodů o stejné úhlové souřadnici \(\varphi\).
Vpravo: Podobně pro dvojici bodů na stejné radiální souřadnici \(r\).

Tyto vztahy ale platí jen pro speciální případy, kdy mají oba body jednu polární souřadnici společnou. Obecně tomu tak samozřejmě být nemusí. Správný obecný výsledek dostaneme na první pohled poněkud naivním způsobem, kdy změny souřadnic prostě sečteme. Například souřadnice \(x\) se o kousek změní díky změně radiální souřadnice a o kousek také změnou úhlové souřadnice. Celkem dostáváme \(\text{d}x=\cos{⁡\varphi}\:\text{d}r-r\sin{⁡\varphi}\:\text{d}\varphi\) a \(\text{d}y=\sin{\varphi}\:\text{d}r+r\cos{\varphi}\:\text{d}\varphi\). Protože vám dosavadní postup může připadat neuspokojivý, ukažme si, jak se postupuje obecně. Již víme, že se ve vztazích objeví derivace. Derivace právě vystihuje, jak se hodnota nějaké funkce mění, když trochu změníme hodnotu její proměnné. Zde ale máme funkce dvou proměnných, \(x\) i \(y\) závisí na \(r\) i \(\varphi\). Musíme tedy využít pravidlo pro výpočet tzv. totálního diferenciálu (tj. malého posunutí) funkce o více proměnných, kdy derivujeme nejprve podle jedné proměnné a potom podle druhé: \begin{equation*} \text{d}x=\frac{\partial x}{\partial r} \text{d}r+\frac{\partial x}{\partial \varphi}\text{d}\varphi,\qquad \text{d}y=\frac{\partial y}{\partial r}\text{d}r+\frac{\partial y}{\partial \varphi}\text{d}\varphi. \end{equation*} Výraz typu \(\partial x/\partial r\) značí tzv. parciální derivaci, což je nástroj, který se objevuje u funkcí více proměnných a znamená pro nás, že zde derivujeme čistě podle vyznačené proměnné, a ostatní považujeme za konstanty. Spočítejme si tedy nejdříve všechny příslušné derivace: \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial r}=\frac{\partial (r\cos{⁡\varphi})}{\partial r}=\cos⁡{\varphi}, & \frac{\partial x}{\partial \varphi}=\frac{\partial (r\cos{⁡\varphi})}{\partial \varphi}=-r\sin{⁡\varphi}, \\ \frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial (r \sin{⁡\varphi})}{\partial r}=\sin{⁡\varphi},& \frac{\partial y}{\partial \varphi}=\frac{\partial (r\sin⁡{\varphi})}{\partial \varphi}=r\cos{⁡\varphi}. \\ \end{array} Pro přírůstky souřadnic tedy platí stejné vztahy, jaké jsme již dříve částečně odhadli: \begin{equation*} \text{d}x=\cos{⁡\varphi}\:\text{d}r-r\sin{⁡\varphi}\:\text{d}\varphi, \qquad \text{d}y=\sin{⁡\varphi}\:\text{d}r+r\cos{⁡\varphi}\:\text{d}\varphi. \end{equation*} Po dosazení do kartézské metriky roviny dostáváme \begin{align*} (\text{d}s)^2& =(\text{d}x)^2+(\text{d}y)^2=(\cos⁡{\varphi}\:\text{d}r-r\sin{⁡\varphi}\:\text{d}\varphi)^2+(\sin{⁡\varphi}\:\text{d}r+r\cos{⁡\varphi}\:\text{d}\varphi)^2 \\ & =(\cos^2{⁡\varphi}\:(\text{d}r)^2-2r\sin{⁡\varphi}\cos{⁡\varphi}\:\text{d}r\:\text{d}\varphi + r^2\sin^2{⁡\varphi}\:(\text{d}\varphi)^2 ) + \\ &+(\sin^2{⁡\varphi}\:(\text{d}r)^2+2r\sin{⁡\varphi}\cos{⁡\varphi}\:\text{d}r\:\text{d}\varphi + r^2\cos^2{⁡\varphi}\:(\text{d}\varphi)^2 \\ & =[\cos^2{⁡\varphi}+\sin^2{⁡\varphi}](\text{d}r)^2+[\sin^2{⁡\varphi}+\cos^2{⁡\varphi}]r^2(\text{d}\varphi)^2=(\text{d}r)^2+r^2(\text{d}\varphi)^2. \end{align*}

Podobně můžeme dokázat i přechod opačným směrem. K tomu potřebujeme opačnou transformaci, tedy z kartézských do polárních souřadnic, tu můžeme vyjádřit například z \eqref{4.15} jako \begin{equation*} r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \varphi(x,y)=\arctan⁡{\left(\frac{y}{x}\right)}. \end{equation*} Připomeňme, že \(\arctan{(...)}\) je inverzní (jinak řečeno opačná) funkce k funkci tangens. Analogicky k předchozímu platí \begin{equation*} \text{d}r=\frac{\partial r}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial r}{\partial y}\text{d}y, \qquad \text{d}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\text{d}y. \end{equation*} Spočítejme si opět nejdříve příslušné derivace: \begin{array}{l} \frac{∂r}{∂x}=\frac{∂(\sqrt{x^2+y^2})}{∂x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad \frac{∂r}{∂y}=\frac{∂(\sqrt{x^2+y^2})}{∂y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \\ \frac{∂\varphi}{∂x}=\frac{∂\left(\arctan⁡{\left(\frac{y}{x}\right)}\right)}{∂x}=\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(-\frac{y}{x^2}\right)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \\ \frac{∂\varphi}{∂y}=\frac{∂\left(\arctan⁡{\left(\frac{y}{x}\right)}\right)}{∂y}=\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{x}\frac{1}{x+\frac{y^2}{x}}=\frac{x}{x^2+y^2}. \\ \end{array} V poslední úpravě jsme rozšířili zlomek, abychom dostali tvar podobný předchozí derivaci, protože se s ním bude lépe pracovat. Při odvozování jsme také využili tzv. řetízkové pravidlo o derivaci složené funkce a derivaci funkce \(\arctan⁡{x}\), kterou můžeme dohledat například na internetu jako \((\arctan{⁡x})^\prime=1/(1+x^2)\). Po dosazení do přírůstků souřadnic dostáváme \begin{equation*} \text{d}r=\frac{x\:\text{d}x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y\:\text{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{r}(x\:\text{d}x+y\:\text{d}y), \qquad \text{d}\varphi=\frac{-y\:\text{d}x}{x^2+y^2}+\frac{x\:\text{d}y}{x^2+y^2}=\frac{1}{r^2}(-y\:\text{d}x+x\:\text{d}y), \end{equation*} kde jsme využili, že \(\sqrt{x^2+y^2}=r\). Toto je trochu nekonzistentní označení, protože v matematice bychom správně měli vyjadřovat přírůstky jedné sady souřadnic, v tomto případě \(r\) a \(\varphi\), pouze pomocí druhé sady souřadnic, tedy \(x\) a \(y\), ale jak uvidíme, usnadní nám to hodně opisování.

Nyní už zbývá jen dosadit do polární metriky: \begin{array}{l} (\text{d}s)^2 & =(\text{d}r)^2+r^2(\text{d}\varphi)^2=\frac{1}{r^2}(x\:\text{d}x+y\:\text{d}y)^2+r^2\frac{1}{r^4}(-y\:\text{d}x+x\:\text{d}y)^2 \\ & =\frac{1}{r^2}\left(x^2(\text{d}x)^2+2xy\:\text{d}x\:\text{d}y+x^2(\text{d}y)^2\right)+\frac{1}{r^2}\left(y^2(\text{d}x)^2-2xy\:\text{d}x\:\text{d}y+x^2(\text{d}y)^2\right) \\ & =\frac{1}{r^2}\left[(x^2+y^2)(\text{d}x)^2+(x^2+y^2)(\text{d}y)^2\right]=\frac{1}{r^2}\left[r^2(\text{d}x)^2+r^2(\text{d}y)^2\right]=(\text{d}x)^2+(\text{d}y)^2. \\ \end{array}

Zobecnění vztahu \eqref{4.18} pro prostor je pak celkem přímočaré, prostě místo do dvou budeme počítat do tří. Obecně má tak prostorová metrika tvar \begin{equation*}\label{4.19}\tag{4.19} (\text{d}s)^2=g_{11}(\text{d}x^1)^2+g_{22}(\text{d}x^2)^2+g_{33} (\text{d}x^3)^2 +2g_{12}\text{d}x^1\text{d}x^2+2g_{13}\text{d}x^1 \text{d}x^3+2g_{23}\text{d}x^2\text{d}x^3, \end{equation*} kde jsme pro stručnost už znovu nezdůrazňovali, že každý metrický koeficient \(g_{ij}\) může obecně záviset na všech souřadnicích, takže \(g_{11}(x^1,x^2,x^3)\) atd. Výraz typu \((\text{d}x^1)^2\) je třeba chápat jako změna v souřadnici \(x^1\), to celé na druhou. Vidíme tedy praktický příklad toho, jak prostým rozšířením matematického popisu ploch, jejichž zakřivení si představit dokážeme, můžeme popsat i prostor – v principu třeba i zakřivený, což už si představit příliš nedokážeme. A tím samozřejmě nekončíme. Naším konečným cílem je matematický popis zakřiveného prostoročasu. Protože ten je obecně popsán čtyřmi souřadnicemi, budou i indexy v metrice nabývat čtyř hodnot. Něco takového jsme už ale vlastně viděli ve třetí části o STR. V ní jsme popsali prostoročas pomocí souřadnic \((x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)\) – relativistickou konvencí je totiž přiřazovat časové souřadnici číslo indexu nula – a následně jsme odvodili tzv. prostoročasový interval (3.15): \begin{equation*} (\Delta s)^2=-c^2 (\Delta t)^2+(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2, \end{equation*} což je prostoročasová „vzdálenost“ mezi nějakými dvěma událostmi, na které se všichni inerciální pozorovatelé shodnou podobně jako se v klasické fyzice všichni pozorovatelé shodnou na vzdálenosti dvou bodů. První člen by se správně vzato měl podle naší konvence psát jako \(-[\Delta(ct)]^2\), tedy „mínus změna v souřadnici c krát t“, ale protože \(c\) je konstanta, můžeme ji z té změny vytknout a výraz tak mírně zpřehlednit.

Rovnice (3.15) je prakticky vzato metrikou námi zavedeného prostoročasu s jednou malou výjimkou – předepisuje jak spočítat „vzdálenost“ pro libovolně vzdálené události, ne jen ty nekonečně blízké. To ale snadno vysvětlíme pohledem na příslušné metrické koeficienty. U prostorových souřadnic jsou to jedničky stejně jako u kartézského prostoru: \(g_{11}=g_{22}=g_{33}=1\). V případě časové souřadnice \(x^0=ct\), je příslušný metrický koeficient \(g_{00}=-1\) (to proto, že konstantu \(c\) jsme učinili přímo součástí té souřadnice, takže v koeficientu před přírůstkem souřadnice nevystupuje – což může být na první pohled matoucí, proto to zdůrazňujeme). Jelikož jsou všechny metrické koeficienty konstanty, je tento prostoročas z geometrického hlediska plochý, tedy nezakřivený. Stejně jako u roviny tedy můžeme výraz (3.15) přepsat rovnou v infinitezimálním tvaru (tj. vyměnit \(\Delta\) za \(\text{d}\)): \begin{equation*}\tag{4.20}\label{4.20} (\text{d}s)^2=-c^2 (\text{d}t)^2+(\text{d}x)^2+(\text{d}y)^2+(\text{d}z)^2. \end{equation*} Jak už jsme se zmiňovali, podobně jako plochý prostor nazýváme eukleidovský (a nebylo to jen na počest Eukleida, ale také jako odlišení od zakřivených prostorů), má i plochý prostoročas své jméno: Minkowského prostoročas. Nejedná se tedy o jakýkoli prostoročas, ale pouze ten plochý. To je hřiště speciální teorie relativity. Obecná relativita přidává zásadní a nezbytnou komplikaci. V přítomnosti gravitace je prostoročas zakřiven, tj. přestává být v dané oblasti plochý, a jeho metrika má (v závislosti na použitých souřadnicích) obecně nekonstantní koeficienty. Pokud si uvědomíme, že máme čtyři souřadnice a každý metrický koeficient má dva indexy, dohromady dostáváme \(4\cdot4=16\) možností. To je \(16\) matematických funkcí, které bychom potřebovali v principu znát, abychom dokázali například předem spočítat trajektorii tělesa obíhající nějakou hvězdu. Ve skutečnosti sice nepotřebujeme znát všech \(16\) díky tomu, že křížové koeficienty jsou symetrické – například \(g_{01}=g_{10}\), \(g_{12}=g_{21}\) atd., a sami si můžete rozmyslet, že nám díky této vlastnosti stačí znát jen \(10\) koeficientů, ale to je stejně pořád docela hodně. Ani zde nebudeme vypisovat obecný tvar prostoročasové metriky podobně jako u rovnice \eqref{4.19}, protože už je to opravdu dlouhý a špatně přehledný matematický výraz.

Opět ale nevěšme hlavu pod náporem komplikované matematiky. Nyní jsme si již řekli vše podstatné, abychom se mohli znovu naplno ponořit do fyziky. V následující kapitole si ukážeme nejjednodušší příklad relativistického popisu gravitačního pole, tzv. Schwarzschildův prostoročas. Jeho matematický popis snad ještě zvládneme a budeme si tak na něm moci celou řadu věcí ukázat a ba i spočítat.