Část 3: Speciální relativita

I když byly první články o speciální teorii relativity publikovány Albertem Einsteinem v roce 1905, aby byl náš popis úplný, konkrétně, abychom odpověděli i na otázku Proč?, a ne jenom Jak?, musíme se podívat o něco dále do minulosti. Naše historická vsuvka bude ale velmi stručná, protože tento text nemá za cíl se zabývat historií vědy. Abychom ale uspokojili poznáníchtivého čtenáře, uvádíme alespoň odkazy na doporučenou literaturu.

Když James Clerk Maxwell (1831 - 1879) předvedl světu své rovnice elektromagnetismu, mimo jiné z nich vyplynulo, že změny elektrického a magnetického pole se svázány dohromady šíří prostorem rychlostí světla jako vlna. Pro mnohé to byl poslední kousek skládačky v mnohaleté snaze o odhalení povahy světla. Ona totiž otázka „Co je světlo?“ hlodala lidem v hlavách již dlouho. Již od začátku 18. století díky Youngovu pokusu převažoval názor, že světlo je vlna. Ale vlna čeho? A najednou Maxwellovy rovnice jasně ukazovaly, že světlo nejenže skutečně vlna je, ale je to vlna elektromagnetická. Více podrobností se můžete dočíst například v anglicky psané knize [i].

Jak už to tak bývá, po jedné odpovědi přišlo daleko více otázek. Ta patrně nejzásadnější by šla zformulovat takto: „Jestliže světlo je vlna, co se tedy doopravdy vlní? Když hodím kámen do vody, zvlní se vodní hladina, když mluvím, zvuk se šíří prostorem jako tlakové vlny ve vzduchu. Co je tedy to médium, které se vlní, když se šíří světlo?“

Bylo zformulováno několik fyzikálních teorií, které se snažily toto chování přírody vysvětlit (vizte [i], rozsáhlý rozbor historie vzniku speciální relativity a konkurenčních teorií je uveden na anglické Wikipedii), ale žádná nedosáhla obecnějšího uznání, případně neobstála při porovnání s experimenty. Až pak Einsteinův článek z roku 1905 přinesl počátek speciální teorie relativity, která na základě několika málo předpokladů dokázala vysvětlit zmíněné experimenty, a to přímočařeji a přirozeněji než jiné teorie. Znamenala tak konec úvah o éteru.

Ucelenější a detailnější popis historického vývoje vedoucího k formulaci STR lze nalézt v doporučené literatuře (v češtině [1],[2] nebo také v angličtině [i], [ii]), případně na anglické Wikipedii. My se nyní radši podíváme na fyzikální aspekty speciální relativity.

Relativistický vlak

Před tím, než dáme našim úvahám pevný matematický základ, ukážeme si na následujícím příkladu, jak překvapivé mohou být naše závěry, pokud se rozhodneme držet základních předpokladů STR. Tento myšlenkový pokus lze nalézt ve většině úvodních knih a textů o STR, nicméně považujeme ho za natolik důležitý, že ho stručně provedeme i zde.

Prostor + čas = prostoročas

Dříve jsme poznali Galileiho transformaci, matematické vyjádření přechodu z jedné inerciální soustavy do druhé v řeči souřadnic. Z ní pak plynuly některé důležité závěry klasické mechaniky v čele s pravidlem o skládání rychlostí. To je ale v rozporu s principem konstantní rychlosti světla (také můžeme říci s invariancí rychlosti světla). Abychom vyhověli základním předpokladům STR, potřebujeme novou transformaci souřadnic, na jejímž základě vyvodíme nové důsledky.

Nejdříve si shrňme naši výchozí pozici. V mechanice se zabýváme pohybem těles, proto potřebujeme popsat prostor pomocí jeho tří souřadnic. Každý bod prostoru je tak pro nás v dané souřadné soustavě reprezentován trojicí čísel \((x,y,z)\). Nezajímá nás jen poloha předmětů, ale i jejich pohyb, to znamená změna polohy s časem. Čas je pro nás typicky parametr, tedy něco na čem všechny souřadnice obecně závisí, ale co se přímo neúčastní fyzikálních procesů. Tuto závislost většinou zdůrazňujeme zápisem \((x(t),y(t),z(t))\), což ale není nic jiného než vhodná zkratka za: V čase \(t=0\:\text{s}\) bylo těleso na souřadnicích \((x(0\:\text{s}),y(0\:\text{s}),z(0\:\text{s}))\), o sekundu později bylo v čase \(t=1\:\text{s}\) na souřadnicích \((x(1\:\text{s}),y(1\:\text{s}),z(1\:\text{s}))\) a tak dále. To důležité je, že v klasické mechanice automaticky předpokládáme, že tento čas plyne pro všechna tělesa a pozorovatele stejně. Jestliže pro nás uběhne 10 sekund, přijde nám samozřejmé, že pro cestující v okolo jedoucím autobuse také uběhlo 10 sekund. Tato představa je podpořena naším každodenním vnímáním, a proto ji v klasické mechanice samozřejmě používáme. Ale každý, kdo někdy viděl libovolnou optickou iluzi, ví, že naše vnímání nás může klamat.

Když už tedy víme, že Galileiho transformace, základ přecházení mezi inerciálními soustavami klasické fyziky, není v souladu s druhým postulátem speciální teorie relativity, pojďme nyní najít novou, speciálně relativistickou transformaci. Náš postup bude tak zpočátku téměř čistě matematický. Nejdříve odvodíme nové transformační vztahy a pak se podíváme, jaké fyzikální důsledky z nich plynou a ty pak podpoříme výsledky experimentů.

Mějme, stejně jako u Galileovy transformace, nečárkovanou inerciální soustavu souřadnic \(S\), která pro nás bude v klidu, a čárkovanou inerciální soustavu \(S^\prime\), jež se vůči té nečárkované pohybuje rychlostí \(v\). Do směru vzájemného pohybu soustav umístíme jak osu \(x\) tak osu \(x^\prime\) a i zbylé osy budou orientované shodně (vzpomeňte na obrázek 2.1). Dále budeme předpokládat následující:

• Žádná ze soustav není preferována. Z hlediska fyziky jsou rovnocenné a tuto vlastnost by měla respektovat i transformace souřadnic. (vizte I. postulát STR)
• V obou inerciálních soustavách naměří pozorovatelé stejnou hodnotu rychlosti světla ve vakuu. (vizte II. postulát STR)
• Dá se ukázat, že když se vzájemný pohyb odehrává pouze ve směru x-ových os, zůstanou souřadnice y a z nezměněny. Tento závěr v našem případě použijeme jako předpoklad. Poučeni příkladem se světelným signálem ve vlaku také připustíme, že se bude měnit časová souřadnice.

S využitím těchto základních předpokladů lze odvodit tzv. Lorentzovu transformaci: \begin{equation*}\label{Lor}\tag{3.5} t^\prime=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right) \qquad x^\prime=\gamma\left(x-vt\right) \qquad y^\prime=y \qquad z^\prime=z. \end{equation*} Odvození není těžké, pouze trochu zdlouhavé. Zájemci si ho mohou rozbalit níže. Pojďme se nyní podívat na fyzikální důsledky této nové transformace.

Odvození Lorentzovy transformace

Připomeňme, že \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\) , kde \(v\) je vzájemná rychlost dvou inerciálních soustav a \(c\) rychlost světla ve vakuu.

Dilatace času

Představme si nyní raketu (abychom si na chvilku odpočinuli od vlaků a autobusů), která kolem Země prolétá konstantní rychlostí například \(v=0{,}8\:c\), tj. \(80\:\%\) rychlosti světla, směrem k Marsu (je třeba také poznamenat, že aby byla soustava rakety opravdu inerciální, musí svými motory vykompenzovat gravitační působení planet i Slunce). Do směru jejího letu opět umístíme osu \(x\) naší souřadné soustavy a i \(x^\prime\) soustavy spojené s raketou, aby se nám dobře počítalo (souřadnice \(y\) a \(z\) tak budou opět beze změny a v dalším je budeme pro přehlednost vynechávat). Umíme měřit vzdálenosti v prostoru kolem sebe a umíme odměřovat čas na našich hodinkách (vzpomeňte na ideální měřící tyče a ideální hodiny z první kapitoly). Stejně tak lidé v raketě mají své měřící tyče a hodiny, takže i oni jsou schopni měřit.

Každá událost \(U\) je v naší nečárkované soustavě popsána svými souřadnicemi \(U[t,x]\), tedy námi změřeným časem a polohou. Může jí být tiknutí hodinek, úder zvonu, srážka dvou aut, prakticky cokoli, co se stane v jeden konkrétní čas na jednom konkrétním místě. Stejnou událost mohou ale zpozorovat i naši kolegové z rakety (přiřadíme jim čárkovanou soustavu), obecně ale naměří jiný čas a jinou polohu \(U[t^\prime,x^\prime]\). Abychom byli konkrétní, zvolme si například za první událost průlet rakety kolem Země. Druhou událostí bude průlet rakety kolem Marsu. Vzdálenost od Země k Marsu se samozřejmě neustále mění kvůli obíhání planet kolem Slunce, vezměme tedy pro snadnější výpočet například jejich nejmenší vzdálenost, tj. \(54{,}6\cdot10^9\:\text{m}\), což je tím pádem zároveň prostorový rozdíl \(\Delta{}x\) mezi dvěma událostmi v naší soustavě spojené se Zemí. Z logiky věci pak plyne, že prostorová souřadnice první události v této soustavě je \(x_\text{U1}=0\:\text{m}\) a druhé události \(x_\text{U2}=54{,}6\cdot10^9\:\text{m}\).

Snadno spočítáme, jak dlouho raketa letí k Marsu v naší soustavě spojené se Zemí. Jedná se o jednoduchý rovnoměrně přímočarý pohyb, takže pro dobu letu musí platit \begin{equation*} \Delta{}t=\frac{\Delta{}x}{v}=\frac{54{,}6\cdot10^9\:\text{m}}{0{,}8\cdot3\cdot10^8\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}=227{,}5\:\text{s}=3\:\text{min}\:⁡47{,}5\:\text{s}. \end{equation*} V řeči souřadnic, pokud v soustavě Země přiřadíme první události čas \(t_{U1}=0\:\text{s}\), čas druhé události musí být \(t_{U2}=227{,}5\:\text{s}\). Jak dlouhý čas uplyne během letu k Marsu na vesmírné lodi? Abychom dokázali na tuto otázku odpovědět, stačí využít transformační rovnice pro časový interval \(\Delta{}t^\prime\). S využitím \(\Delta{}x=v\Delta{}t\) a definice gama faktoru dostáváme \begin{equation*}\label{3.9}\tag{3.9} \Delta{}t^\prime=\gamma\left(\Delta{}t-\frac{v\Delta{}x}{c^2}\right)=\frac{\Delta{}t-\frac{v\Delta{}x}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\Delta{}t-\frac{v^2\Delta{}t}{c^2} }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\Delta{}t\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\Delta{}t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \end{equation*}

Kontrakce délek

Ukažme nyní, že ani na délce cesty se posádka lodi s námi na Zemi neshodne. Koneckonců, jeden ze základních postulátů STR je nezávislost rychlosti světla ve vakuu na inerciální soustavě. Jelikož rychlost (měřená v metrech za sekundu) závisí na měření času a délky, a již víme, že na měření času se obě soustavy neshodnou, nemohou se shodnout ani na měření vzdáleností. Dosaďme informace známé z nečárkované soustavy \(\Delta{}x\) a \(\Delta{}t\) do transformační rovnice pro polohu: \begin{equation*}\label{3.10}\tag{3.10} \Delta{}x^\prime=\frac{\Delta{}x-v\Delta{}t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{54{,}6\cdot10^9-0{,}8\cdot3\cdot10^8\cdot227{,}5}{0{,}6}\:\text{m}=0\:\text{m}. \end{equation*}

Na první pohled se zdá zvláštní, že nám vychází nula. Není přece možné, aby posádka rakety naměřila mezi oběma planetami nulovou vzdálenost, když jim cesta trvá z jejich pohledu přes dvě minuty. Po bližším pohledu ale vlastně není tento výsledek překvapivý, protože v čitateli je výraz \(\Delta{}x-v\Delta{}t\), ale jelikož víme, že v soustavě Země je \(\Delta x\) rovna dráze uražené lodi, tj. \(\Delta{}x=v\Delta{}t\), zlomek musel nutně vyjít nula. Zamysleme se nad tím, co jsme vlastně vypočítali. Představte si, že byste jeli autem z Prahy do Ostravy. Když jste v Praze, vaše vzdálenost od Prahy je nulová. Když pak dorazíte do Ostravy, vaše vzdálenost od Ostravy je samozřejmě také nulová. No a nula mínus nula je nula. V našem případě s lodí je to přesně takové. Výraz \(\Delta{}x^\prime\) definován jako rozdíl délkových souřadnic obou planet v čárkované soustavě, tedy měřeno vzhledem ke kosmické lodi. V okamžiku průletu kolem Země je raketa v blízkosti Země, tedy délková souřadnice první události je nula (zajisté se najde někdo ze čtenářů, který si řekne, že to není možné, vždyť by loď musela proletět středem Země. Detailisty můžeme uklidnit tím, že loď samozřejmě prolétá kolem Země, je od ní tak sice v okamžiku průletu nějak vzdálena, ale naše souřadná soustava je nastavena tak, aby tato vzdálenost byla čistě ve směru např. y, nemá tedy na naší fyzikální situaci vliv). U druhé události, příletu k Marsu, je to obdobné. Vzdálenost lodi od Marsu je také nula. Budeme to tedy muset zkusit jinak.

Co to vlastně znamená změřit délku něčeho? Máme-li například určit délku nějaké tyče, která je vůči nám v klidu, není to nic obtížného. Prostě určíme polohu obou konců a hledaná délka je vzdálenost mezi nimi. Komplikovanější je, co když se vůči nám tyč pohybuje. V tom případě už si nemůže dát načas a nejdříve změřit polohu jednoho konce a pak druhého, protože tyč se mezitím o nějaký kus pohne a naše měření nebude určitě správné. Z toho plyne, že potřebujeme určit polohu obou konců najednou, tj. současně. Abychom tedy zjistili, jak velkou vzdálenost \(\Delta x^\prime\) mezi planetami posádka rakety naměří, vezmeme si jako dvě události - změření polohy jedné a druhé planety posádkou (ponechme nyní stranou technickou stránku věci). Jelikož musí být události současné, platí pro ně \(\Delta t^\prime=0\). Potřebujeme tedy rovnici, ve které se bude vyskytovat jak \(\Delta t^\prime\), tak \(\Delta x^\prime\). Nabízí se využít opačnou transformaci pro vzdálenost \eqref{3.8}:

\begin{equation*} \Delta{}x=\gamma(\Delta{}x^\prime+v\Delta{}t^\prime)=\gamma\Delta{}x^\prime=\frac{\Delta{}x^\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}⇒\Delta{}x^\prime=\Delta{}x\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \end{equation*}

Dosazením konkrétních hodnot dostáváme \(\Delta{}x^\prime=54{,}6\cdot10^9\cdot0{,}6\:\text{m}=32{,}76\cdot10^9\:\text{m}\). Posádka v raketě tedy naměří vzdálenost mezi planetami \(0{,}6\) krát menší, stejně jako tomu bylo u času letu. Tomuto jevu říkáme kontrakce délek. Není náhodou, že nám míra dilatace času a kontrakce délek vyšly stejně. Muselo to tak nutně být právě díky jednomu ze dvou základních kamenů celé teorie – principu relativity.

Relativita v malých rychlostech

Velice správná otázka by v tuto chvíli byla, proč tyto podivné efekty běžně nepozorujeme. Denně jezdíme dopravními prostředky tam a zpátky, přesto nevidíme žádné zkracování délek ani se nám nerozcházejí hodinky s ostatními. Vysvětlení je vcelku prosté. Všední rychlosti, kterými se pohybujeme na Zemi, jsou příliš malé na to, aby se relativistické efekty dostatečně projevily. Matematicky tato skutečnost vyplývá přímo z Lorentzovy transformace \eqref{Lor}. Hlavním činitelem vystupujícím ve všech rovnicích je zmíněný gama faktor. Pro relativní rychlosti \(v\) menší než je rychlost světla bude výraz \(v/c\) vždy menší než jedna a stejně tak jeho druhá mocnina. Výraz pod odmocninou bude tedy kladný, což je dobře... protože je pod odmocninou. Můžeme si tedy povšimnout, že Lorentzova transformace nefunguje pro vzájemné rychlosti větší než \(c\) (ba dokonce rovné \(c\)). Více se o tomto faktu zmíníme v kapitole Nadsvětelné rychlosti. Prozatím se pojďme podívat, jak se chová gama faktor při rychlostech výrazně menších než rychlost světla, tedy prakticky ve všech situacích, které zažíváme na naší planetě.

V matematice se zavádí tzv. Taylorovy polynomy, což je způsob, jak přepsat obecně složité matematické výrazy jako nekonečnou řadu jednodušších sčítanců mocnin. Setkáváme se s nimi typicky poprvé až na vysoké škole, ale pro naše účely není nyní důležité, jak fungují. Taylorův polynom pro gama faktor začíná takto \begin{equation*} \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2 }}=1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2+\frac{3}{8}\left(\frac{v}{c}\right)^4+... , \end{equation*} kde místo tří teček pokračují členy s vyššími mocninami členu \(v/c\). První člen na pravé straně je jednička, která by odpovídala nulové rychlosti, kdy k žádným kontrakcím délek ani dilataci času nedochází. Tím vlastně odpovídá i klasické fyzice, která dané efekty vůbec nepředpovídá. Protože se zabýváme situacemi, kdy je člen \(v/c\) menší než jedna, znamená to, že členy s vyššími mocninami dávají stále menší a menší příspěvky.

Relativistické miony

Jak už bylo řečeno, každá teorie musí být ověřena praxí. V průběhu dvacátého stolení bylo provedeno mnoho experimentálních testů, než si STR od svého vzniku získala mezi vědci své stoupence a stala se uznávanou fyzikální teorií. Ukažme si, jakým způsobem je možné ověřit existenci dilatace času jako reálného fyzikálního jevu. Nejpříhodnější k tomu jsou elementární částice. Důležitou vlastností každé částice je její poločas rozpadu. Čas, za jaký se nestabilní částice rozpadne, se obecně nedá předpovědět přesně. Ale i když nedokážeme říci, za jak dlouho se rozpadne každý jednotlivý radioaktivní atom nebo nestabilní elementární částice, dokážeme využít matematiku pravděpodobnosti a předpovídat něco pro větší množství částic.

Řekněme, že takových částic máme \(N\). Potom jejich poločas rozpadu je doba, po které jich zbude už jen polovina. Tak například pro radioaktivní izotop polonia \(_{84}^{210}\text{Po}\) je udáván poločas rozpadu přibližně 138 dní. To znamená, že pokud například začneme s jedním gramem tohoto izotopu, po uplynutí 138 dní ho zbude už jen půl gramu, zatímco zbytek se radioaktivně rozpadne na jiné prvky. Po dalších 138 dnech už bude jen čtvrt gramu (tedy polovina z poloviny) a tak dále. Vždy po uplynutí poločasu najdeme nerozpadlou polovinu původního množství atomů.

Stejný princip platí i pro elementární částice. Některé jsou velmi stabilní a jejich rozpad ještě nebyl pozorován (například protony) a některé se rozpadají na jiné částice ve zlomcích vteřiny po svém vzniku. Slavným příkladem jsou miony (částice podobné elektronu, ale mnohem těžší a méně stabilní). Miony mají podle laboratorních měření poločas rozpadu zhruba \(1{,}52\cdot10^{-6}\) s (miliontiny sekundy). Je známo, že hojně vznikají v naší atmosféře typicky ve výšce kolem \(15\:\text{km}\) nárazem kosmického záření do molekul vzduchu a posléze pronikají k povrchu planety rychlostí kolem \(0{,}99c\) (budeme počítat s touto hodnotou), kde je pak můžeme detekovat. Překvapivě je ale detekováno mnohem víc těchto částic, než by se dalo na základě nerelativistické fyziky očekávat. Speciální relativita podala na tento problém odpověď.

Vlastně se zde opakuje myšlenka s posádkou lodi rozebíraná výše. Celá situace musí jít vysvětlit i z hlediska mionů samotných (v jejich klidové soustavě). Rychlost mionů vůči klidné Zemi je samozřejmě stejná jako rychlost Země v klidové soustavě těchto částic. Koneckonců, mluvíme o relativní vzájemné rychlosti. Z pohledu mionů tedy neurazí námi naměřenou délku \(15\:\text{km}\), ale díky kontrakci délek pouze \begin{equation*} \frac{15\:\text{km}}{\gamma}=15\:\text{km}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=15\:\text{km}\sqrt{1-0{,}99^2}\doteq2{,}12\:\text{km}, \end{equation*} proto se jich tolik nestihne rozpadnout.

Podobný experiment byl skutečně proveden v roce 1941 pány Rossim a Hallem ve Spojených státech. Ti proměřovali rozdíly v počtech mionů s výškovým rozdílem 2 km a jejich výsledky dobře odpovídaly předpovědím speciální relativity. Experimenty stejného typu byly od té doby provedeny i s jinými částicemi a stále lépe potvrzují STR. Pro obsáhlý a podrobný rozbor mnoha experimentů ohledně speciální relativity v angličtině doporučujeme [iv].

Relativistické protony

Dobrým příkladem, kdy je již zcela nutné počítat v rámci STR a nikoli klasické mechaniky, je velký hadronový urychlovač (LHC – Large Hadron Collider) Evropské organizace pro jaderný výzkum (CERN). Z uváděných energií srážek protonů lze odvodit velikost gama faktoru těsně před srážkou zhruba kolem \(7200\), což odpovídá rychlosti přibližně \(99{,}999999\:\%\) rychlosti světla.

Celý projekt výstavby tohoto zařízení přišel na úctyhodných \(5{,}2\) mld. eur a spolupracovalo při něm několik tisíc vědců z celého světa, takže ho jen těžko někdo může brát na lehkou váhu. Přitom je v současné době asi největším důkazem, že speciální relativita správně popisuje reálné jevy při vysokých rychlostech. Pojďme se podívat, jakým způsobem vstupuje relativita do experimentů na urychlovači.

Předně si musíme říct, že dilatace času a kontrakce délek nejsou jediné nové jevy, které s sebou STR přináší. Velmi brzy po zveřejnění této své teorie Einstein ukázal, že aby zůstal v platnosti zákon zachování hybnosti, musíme klasický vztah pro hybnost \(\vec{p}=m\vec{v}\) libovolného tělesa či částice modifikovat. Pokud má těleso hmotnost \(m_0\), když je vzhledem k nám v klidu (mluvíme o tzv. klidové hmotnosti), bude jeho hybnost vůči nám při vzájemné rychlosti \(v\) \begin{equation*}\label{3.11}\tag{3.11} p=\gamma{}m_0v=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \end{equation*}

Ukázali jsme si, že měření času a prostoru se může pro různé inerciální soustavy lišit. Navíc jsme odvodili Lorentzovu transformaci, která je převodníkem mezi prostoročasovými souřadnicemi jednoho a druhého inerciálního pozorovatele. Pojďme nyní ukázat, že existuje něco, na čem se mohou oba pozorovatelé shodnout. Nějaký můstek, který nám usnadní přechod a orientaci mezi navzájem se pohybujícími inerciálními soustavami.

Zkusme se inspirovat klasickou fyzikou, která popisuje svět jako trojrozměrný eukleidovský prostor. To je ten, o kterém se učíme na základní a střední škole. Součet úhlů v trojúhelníku má v tomto prostoru přesně \(180\:°\), dvě rovnoběžné přímky se nikdy prakticky neprotnou a tak dále. Můžeme tu zavést kartézskou soustavu, která má tři osy (pro každý rozměr jednu) a na ní souřadnice. V první části jsme si uvedli, že ať použijeme jakoukoli kartézskou soustavu souřadnic, bez ohledu na posunutí či rotaci, vzdálenost mezi dvěma konkrétními body, řekněme \(P\) a \(Q\), bude vždy stejná a platí \begin{equation*}\label{3.12}\tag{3.12} |PQ|^2=(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2=(\Delta{}x)^2+(\Delta{}y)^2+(\Delta{}z)^2. \end{equation*} Nyní jsme v situaci, kdy místo s body o třech prostorových souřadnicích pracujeme s událostmi a čtyřmi souřadnicemi - jednou časovou a třemi prostorovými. Zkusme nyní, zda nebude mezi libovolnými dvěma událostmi platit analogie k Pythagorově větě. Definujme si nyní prostoročasovou „vzdálenost“ mezi dvěma událostmi \(U(t_1,x_1,y_1,z_1)\) a \(V(t_2,x_2,y_2,z_2)\) podle vzoru výrazu \eqref{3.12} jako \begin{equation*}\label{3.13}\tag{3.13} |UV|^2=K(\Delta{}t)^2+(\Delta{}x)^2+(\Delta{}y)^2+(\Delta{}z)^2. \end{equation*}

Takto definovaný výraz je tedy vůči LT invariantní (neměnný). To znamená, že pokud v jakékoli inerciální soustavě změříme časový rozdíl mezi dvěma událostmi a rozdíly v jejich prostorových souřadnicích a zkombinujeme je podle rovnice \eqref{4int} , dostaneme vždy stejné číslo. Nehledě na to, jak rozdílné je naše měření oproti jinému inerciálnímu pozorovateli vlivem naší vzájemné rychlosti, na hodnotě prostoročasového intervalu mezi dvěma danými událostmi se vždy shodneme.

Jak už bylo řečeno, fyzikálně důležitý je rozdíl ve znaménkách ve \eqref{4int}. Plyne z něj několik důležitých závěrů:

Za prvé, kvadrát prostoročasového intervalu může nabývat kladné, nulové i záporné hodnoty. Představme si, že sledujeme částici pohybující se konstantní rychlostí \(v\) od jedné události k druhé (což je stručné vyjádření toho, že částice je přítomna oběma událostem, je tedy ve správný čas na správném místě pro jednu i druhou událost). Označme námi změřenou prostorou vzdálenost, kterou částice uletí mezi událostmi jako \(l\). Platí tedy \(l^2=(\Delta{}x)^2+(\Delta{}y)^2+(\Delta{}z)^2\), a zároveň \(l=v\Delta t\), kde \(\Delta t\) je čas mezi oběma událostmi.

\((\Delta s)^2=0\)

Začněme mezním případem, kdy se interval mezi uvažovanými událostmi rovná nule. Pak plyne z \eqref{4int} \begin{equation*} c^2(\Delta{}t)^2=(\Delta{}x)^2+(\Delta{}y)^2+(\Delta{}z)^2=l^2 \implies c^2=\frac{l^2}{(\Delta{}t)^2} =v^2 \implies |v|=c. \end{equation*} Nulovost čtyřintervalu mezi dvěma událostmi tedy znamená, že pokud by měla být částice (či jakékoli jiné těleso) přítomna oběma událostem, musela by se mezi nimi pohybovat rychlostí světla. Samozřejmě se může jednat o šíření světla samotného (které si můžeme představit jako šíření fotonů) nebo jakékoli jiné částice, která se podle předpokladu dokáže pohybovat rychlostí světla (podle STR musí mít ale taková částice nulovou klidovou hmotnost a více se o tom zmíníme v podkapitole Nadsvětelné rychlosti). Nulovému čtyřintervalu se proto říká světlupodobný (light-like), někdy také světelný nebo prostě nulový.

Vraťme se nyní k našemu původnímu příkladu s lodí, která cestuje mezi Zemí a Marsem. Společně s průletem lodi kolem Země (událost \(U_1\) a připomeňme, že jsme zvolili \(t(U_1)=0\:\text{s}\)) vyšleme světelný signál k Marsu. Ten, pohybuje se rychlostí světla, dorazí k Marsu (událost \(U_3\)) samozřejmě dříve než kosmická loď (událost \(U_2\)), konkrétně za čas \(t(U_3)=\Delta{}x/c=54{,}6\cdot10^9\:\text{m}/3\cdot10^8\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1} =182\:\text{s}\) (mimochodem, pokud se zavedených událostech začnete ztrácet, můžete využít jejich přehled v tabulce 3.2 níže). Jelikož \(U_1\) a \(U_3\) jsou spojeny světelným signálem, musí prostoročasový interval mezi nimi být nulový (což jsme si odvodili již obecně výše, ovšem můžete si sami dosadit správné rozdíly souřadnic a přesvědčit se). Tato hodnota bude stejná ve všech inerciálních soustavách, tedy i v čárkované soustavě kosmické lodi. Místo abychom si nejdříve spočítali čas, za který podle posádky lodi doletí světelný signál ze Země na Mars, a dosadili do výrazu pro čtyřinterval, zkusme to pro zajímavost udělat obráceně. Ukažme, že z nulovosti čtyřintervalu v čárkované soustavě plyne přirozený výpočet pro čas letu světelného signálu z hlediska čárkované soustavy. Nejprve si spočítáme vzdálenost mezi událostmi \(U_1\) a \(U_3\) podle posádky rakety pomocí Lorentzovy transformace \eqref{3.7} \begin{equation*} \Delta x^\prime=\frac{\Delta x-v\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{54{,}6\cdot10^9-0{,}8\cdot3\cdot10^8\cdot182}{\sqrt{1-0{,}8^2}} \:\text{m}=18{,}2\cdot10^{9}\:\text{m}. \end{equation*} Prostoročasový interval mezi událostmi \(U_1\) a \(U_3\) musí být nulový, z čehož dostáváme přímo vzorec pro výpočet doby letu světelného signálu podle posádky rakety jako \begin{equation*} 0=-c^2(\Delta{}t^\prime)^2+(\Delta{}x^\prime)^2⇒c^2(\Delta{}t^\prime)^2 =(\Delta{}x^\prime)^2⇒\Delta{}t^\prime=\frac{\Delta{}x^\prime}{c}=\frac{18{,}2\cdot10^{9}\:\text{m}}{3\cdot10^8\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}\doteq 60{,}7\:\text{s}, \end{equation*} což je, jak si můžete sami ověřit, přesně výsledek, který bychom dostali přímým použitím Lorentzovy transformace stejně jako u prostorové souřadnice.

\((\Delta s)^2\lt 0\)

Nakonec jsme si nechali pro nás fyzikálně nejpodstatnější případ. Převládá-li ve výpočtu kvadrátu čtyřintervalu člen s rozdílem časových souřadnic, vyjde nám záporné číslo. Analogicky s předchozím to nastane tehdy, když je možné mezi danými dvěma událostmi cestovat podsvětelnou rychlostí: \begin{equation*} 0\gt-c^2(Δt)^2+l^2\implies{}c^2\gt{}\frac{l^2}{(Δt)^2}=v^2 \implies|v|\lt{}c. \end{equation*} Čtyřintervalu, který tuto podmínku splňuje, se celkem nepřekvapivě říká časupodobný (time-like). Například všechny události našeho života jsou spojeny časupodobnými čtyřintervaly, protože se mezi nimi pohybujeme rychlostí nižší než \(c\). Jistě si teď kladete otázku, jak může být druhá mocnina něčeho záporná? To zavání komplexními čísly! Ale nebojte, tak hrozné to nebude. Čtyřinterval sám o sobě totiž nemá přímý fyzikální význam. Pojďme si nyní ilustrovat, jak může záporný kvadrátu čtyřintervalu dát smysluplný fyzikální výsledek.

Vzpomeňme si na události \(U_1\) a \(U_2\), průlet první rakety kolem Země a následně kolem Marsu. Už víme, že kvadrát čtyřintervalu mezi těmito událostmi je invariantní vůči Lorentzově transformaci, jinými slovy, pokud ho spočítáme ve dvou různých soustavách, musíme dostat stejné číslo. V případě nečárkované soustavy (Země) a té čárkované (raketa pohybující se rychlostí \(0,8\:c\) vůči Zemi) dostáváme \begin{equation*} -c^2(\Delta{}t)^2+(\Delta{}x)^2=(\Delta{}s)^2=(\Delta{}s^\prime)^2=-c^2(\Delta{}t^\prime)^2+(\Delta{}x^\prime)^2. \end{equation*} Vzdálenost mezi událostmi \(U_1\) a \(U_2\) z pohledu čárkované soustavy \(\Delta{}x^\prime\) je nulová, protože je raketa přítomna oběma událostem (tento argument jsme rozebírali výše), a tak můžeme předchozí rovnici upravit jako \begin{equation*} -c^2(\Delta{}t^\prime)^2=(\Delta{}s^\prime)^2=(\Delta{}s)^2\implies(\Delta{}t^\prime)^2=-\frac{(\Delta{}s)^2}{c^2}\implies\Delta{}t^\prime=\frac{\sqrt{-(\Delta{}s)^2}}{c}\gt0. \end{equation*} Máme-li tedy dvě časupodobné události, určuje jejich čtyřinterval čas uplynulý mezi událostmi pro inerciálního pozorovatele přítomného u obou z nich. Mluvíme o tzv. vlastním času pozorovatele (to je ten, který odměřují hodinky cestující na jeho zápěstí). A protože čtyřinterval je i pro všechny ostatní inerciální pozorovatele stejný, všichni se na tomto vlastním času shodnou, či lépe řečeno, všichni si ho dokáží dopočítat. Znaménko mínus v odmocnině má také důležitý význam, protože díky němu je pod odmocninou kladné číslo a vše matematicky funguje.

Abychom ukázali všechny důležité teoretické aspekty, zavedli jsme 3 různé inerciální soustavy a čtyři události. Pojďme si je na konec této části shrnout a podívat se, v čem se liší a co mají společné:

Tabulka 3.2 Shrnutí zavedených inerciálních soustav a událostí
	značka	popis
Vztažné soustavy	\(S\)	Soustava spojená se Zemí.
	\(S^\prime\)	Raketa pohybující se rychlostí \(0{,}8\:c\) vůči Zemi.
	\(S^{\prime\prime}\)	Raketa pohybující se rychlostí přibližně \(0{,}33\:c\) vůči Zemi.
Události	\(U_1\)	Průlet první rakety kolem Země a vyslání světelného signálu.
	\(U_2\)	Průlet první rakety kolem Marsu.
	\(U_3\)	Světelný signál vyslaný při \(U_1\) dorazí k Marsu.
	\(U_4\)	Libovolná událost, která se odehraje na Marsu v čase \(60\:\text{s}\) po \(U_1\) z pohledu Země.

Tabulka 3.3 Časové a prostorové rozdíly a kvadráty čtyřintervalu mezi událostmi
Události	Vztažná soustava	\((\Delta{}t,\Delta{}t^\prime,\Delta{}t^{\prime\prime})/\text{s}\)	\((\Delta{}x,\Delta{}x^\prime,\Delta{}x^{\prime\prime})/\text{m}\)	\((\Delta{}s)^2/\text{m}^2\)
\(U_1 \rightarrow U_2\)	\(S\)	\(227{,}5\)	\(54{,}6\cdot10^9\)	\(-1{,}68\cdot10^{21}\)
	\(S^\prime\)	\(136{,}5\)	\(0^*\)	\(-1{,}68\cdot10^{21}\)
	\(S^{\prime\prime}\)	\(177{,}4\)	\(34{,}0\cdot10^9\)	\(-1{,}68\cdot10^{21}\)
\(U_1 \rightarrow U_3\)	\(S\)	\(182\)	\(54{,}6\cdot10^9\)	\(0\)
	\(S^\prime\)	\(60{,}7\)	\(18{,}2\cdot10^9\)	\(0\)
	\(S^{\prime\prime}\)	\(129{,}2\)	\(38{,}8\cdot10^9\)	\(0\)
\(U_1 \rightarrow U_4\)	\(S\)	\(60\)	\(54{,}6\cdot10^9\)	\(2{,}66\cdot10^{21}\)
	\(S^\prime\)	\(-142{,}7^{**}\)	\(6{,}7\cdot10^{10}\)	\(2{,}66\cdot10^{21}\)
	\(S^{\prime\prime}\)	\(0^{***}\)	\(5{,}15\cdot10^{10}\)	\(2{,}66\cdot10^{21}\)
*Vzpomeňme, že pro průlet rakety kolem Země a Marsu platí \(\Delta x^\prime=0\:\text{m}\).
**Znaménko mínus znamená, že z pohledu rakety si události \(U_1\) a \(U_4\) prohodily pořadí.
***Rychlost této soustavy jsme našli právě takovou, aby události \(U_1\) a \(U_4\) naměřila současně.

Vzpomeňme si nyní na klasický způsob skládání rychlostí. Ten je příjemně přímočarý. Pokud například kovboj pojede na koni rychlostí \(10\:\text{m}/\text{s}\) vůči zemi a vystřelí kulku ze své „henryovky“, u níž je udávána typická rychlost náboje těsně po výstřelu jako \(335\:\text{m}/\text{s}\) ve směru jízdy, bude se podle klasické fyziky náboj pohybovat rychlostí \(345\:\text{m}/\text{s}\) vůči zemi. Rychlosti shodného směru sčítáme, opačného směru odčítáme. Již jsme si ale ukázali, že tento postup by u světla nefungoval. Kdyby kovboj místo výstřelu z pušky posvítil z lucerny, bude se světlo z ní pohybovat rychlostí \(c\) všemi směry nejen vůči kovbojovi, ale i vůči zemi. Tento nesoulad mezi chováním světla a hmotných předmětů stál u zrodu STR a nyní bychom si měli ukázat, jak byl touto teorií vyřešen. Ukazuje se, že běžné sčítání rychlostí, ač pro malé rychlosti oproti rychlosti světla celkem přesné, není tak docela správné.

Mějme dvě inerciální souřadné soustavy. Čárkovaná soustava \(S^\prime\) (kovboj na koni) se pohybuje vůči nečárkované \(S\) (země) rychlostí \(V\) ve směru osy \(x\). V čárkované soustavě se určitý předmět (střela) pohybuje konstantní rychlostí \(v^\prime\) (tj. rychlost výstřelu vzhledem k pušce) ve směru osy \(x^\prime\). Chceme vědět, jakou rychlostí se bude pohybovat vůči nečárkované soustavě, označme ji \(v\). V nečárkované soustavě bude platit \(v=\Delta{}x⁄\Delta{}t\). Nyní stačí do této rovnice dosadit změny čárkovaných souřadnic pomocí inverzní LT \eqref{invLor} (je to samozřejmě stejný postup jako u klasického odvození, pouze s novou transformací souřadnic): \begin{equation*} v=\frac{\Delta{}x}{\Delta{}t}=\frac{\gamma(\Delta{}x^\prime+V\Delta{}t^\prime)}{\gamma(\Delta{}t^\prime+\frac{V\Delta{}x^\prime}{c^2})}=\frac{\Delta{}t^\prime(\frac{\Delta{}x^\prime}{\Delta{}t^\prime}+V)}{\Delta{}t^\prime(1+\frac{V}{c^2} \frac{\Delta{}x^\prime}{\Delta{}t^\prime})}=\frac{\frac{\Delta{}x^\prime}{\Delta{}t^\prime}+V}{1+\frac{V}{c^2}\frac{\Delta{}x^\prime}{\Delta{}t^\prime}}. \end{equation*} Protože v čárkovaných souřadnicích platí \(v^\prime=\Delta{}x^\prime/\Delta{}t^\prime\), získali jsme tak relativistický vzorec pro skládání rychlostí: \begin{equation*}\label{sklRych}\tag{3.16} v=\frac{v^\prime+V}{1+\frac{Vv^\prime}{c^2}}. \end{equation*}

Abychom získali vzorec pro přechod od rychlosti \(v\) k \(v^\prime\), můžeme buď vyjádřit \(v^\prime\) z rovnice \eqref{sklRych} nebo opět využijeme principu relativity, který nám říká, že situace při pohledu z čárkované situace musí vypadat zcela stejně, pouze nečárkovaná soustava se pohybuje rychlostí \(-V\). Takže \begin{equation*}\tag{3.17}\label{invRych} v^\prime=\frac{v-V}{1-\frac{Vv}{c^2}}. \end{equation*} Vidíme, že tyto relativistické vzorce mají „klasickou verzi“ skládání rychlostí v čitateli. Nově se nám objevil jmenovatel. Abychom si přiblížili chování skládání pro „malé“ rychlosti, dosaďme si do vztahu \eqref{3.16} zmíněné rychlosti kovboje na koni a výstřelu z pušky: \begin{equation*}\tag{3.18}\label{3.18} v=\frac{v^\prime+V}{1+\frac{Vv^\prime}{c^2}}=\frac{335+10}{1+\frac{10\cdot335}{(3\cdot 10^8)^2}}\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}=\frac{345\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{1+3{,}722\cdot10^{-14}} \end{equation*} Jmenovatel se v tomto případě liší od jedničky pouze o přibližně \(37\) biliardtin. Výsledná rychlost je potom přibližně \(344{,}999999999987\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Oproti klasické předpovědi to je rozdíl o \(13\) biliontin metru za sekundu. Těžko tedy budeme tyto rozdíly pozorovat u běžných rychlostí v našich podmínkách na Zemi, a proto většinou velmi dobře vystačíme s klasickým skládáním rychlostí.

Rychlost světla je až nepředstavitelně velká. Proti téměř třem stům tisícům kilometrům za vteřinu je jakákoli rychlost, kterou zažíváme na naší planetě, nicotná. Pokud se vydáte na výlet tryskovým letadlem, jedním z nejrychlejších dopravních prostředků kdy vytvořených, dosáhnete podle tabulky výše necelých \(0{,}00009\:\%\) rychlosti světla. Technologie se ale pořád vyvíjí kupředu a minimálně při kosmických letech bychom měli dosahovat stále větších rychlostí. Můžeme ale někdy dosáhnout rychlosti světla?

Všechny naše dosavadní závěry o speciální relativitě se zdají být namířeny proti této možnosti. Matematické argumenty proti plynou z Lorentzovy transformace, z níž jsme odvodili dilataci času a kontrakci délek. Reálný objekt pohybující se rychlostí světla by se nám jevil nekonečně zkrácený ve směru svého pohybu a jeho hodiny by se zastavily, čas by pro něj prakticky neexistoval. To není představa, se kterou bychom se dokázali u reálných hmotných objektů nějak lehce vyrovnat. Pro nadsvětelné rychlosti také nejde matematický aparát LT použít, protože dostáváme pod odmocninou záporné číslo. Nicméně, tomuto sporu se můžeme vyhnout tvrzením, že Lorentzova transformace je nástroj pro počítání pouze s podsvětelnými rychlostmi, respektive se vztažnými soustavami, které se pohybují vůči sobě navzájem pomaleji než světlo. Může být tedy pouze omezeným nebo nedokonalým nástrojem a skutečnost, že neumí popsat nadsvětelné rychlosti, ještě neznamená, že nejsou možné. Potřebujeme tedy pádný fyzikální argument.

V rovnici \eqref{3.11} jsme uvedli relativisticky správnou verzi hybnosti a z ní jsme odvodili pro jednoduchý případ přímočarého zrychlování rovnici \begin{equation*}\tag{3.19}\label{3.19} \vec{F}=\gamma^3m_0\vec{a}, \end{equation*} ze které můžeme vyjádřit zrychlení jako \begin{equation*}\tag{3.20}\label{3.20} \vec{a}=\frac{\vec{F}}{\gamma^3m_0}=\frac{\vec{F}}{m_0}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3. \end{equation*} Pokud budeme na těleso působit silou, dodáme mu zrychlení. Na to jsme zvyklí z klasické fyziky a platí to i v relativitě. V rovnici \eqref{3.20} ale vidíme, že se zvětšující se rychlostí budou účinky působící síly ubývat a abychom například udržovali raketu na konstantním zrychlení, museli bychom působit čím dál větší silou. Jinými slovy, jak se zvětšuje rychlost tělesa, je stále těžší ho urychlovat. Vyžaduje to čím dál tím větší sílu, a jak by se rychlost tělesa blížila k rychlosti světla, působící síla a tím pádem i množství vynaložené energie musí nutně jít do nekonečna. Taková situace ale nastat nemůže, protože nemáme k dispozici nekonečné množství energie, abychom tělesa na rychlost světla urychlili. Nicméně teoreticky se této hranici dokážeme přiblížit libovolně blízko. Koneckonců, například protony dokážeme, jak už bylo řečeno výše, ve velkých urychlovačích urychlit na rychlosti velmi blízké rychlosti světla. Zmiňovali jsme konkrétní případ rychlosti \(99{,}9999991\:\%\:c\) a toto číslo se bude jistě dále čím dál více přibližovat \(100\:\%\). Každé další přiblížení je ale stále energeticky náročnější a přesně rychlosti světla dosáhnout podle STR nemůžeme, natož abychom ji překročili.

Dalším náznakem, na který jsme narazili, byl fakt, že ani skládáním podsvětelných rychlostí se nedostaneme nad rychlost světla. Víme, že rychlost objektu je relativní, závisí na inerciální soustavě, ze které ho pozorujeme. I když se ale nemusí jednotliví inerciální pozorovatelé na rychlosti daného objektu shodnout, díky relativistickému skládání rychlostí platí, že pokud se objekt pohybuje podsvětelnou rychlostí v jedné inerciální soustavě, pohybuje se pomaleji než světlo ve všech inerciálních soustavách.

Pokud má tedy STR pravdu (a zatím se zdá, že ano), není možné se dostat z podsvětelné rychlosti na rychlost světla nebo i nad ní. Zatím ale z žádného argumentu přímo nevyplývá, že by se něco (schválně se zde vyhýbáme slovu částice nebo předmět) nemohlo pohybovat čistě nadsvětelnými rychlostmi.

Hlavním důvodem, proč se nám nezamlouvá pohyb nadsvětelnou rychlostí, je zachování kauzality. Kauzalita znamená vztah mezi příčinou a jejím důsledkem. Konkrétně nás zajímá pořadí, ve kterém dvě kauzálně svázané události nastanou. Nejdříve by se měla odehrát příčina a pak teprve nastat důsledek a na tomto pořadí by se měli shodnout všichni pozorovatelé. Ukažme nyní, že cestování nadsvětelnou rychlostí by mohlo kauzalitu událostí narušit.

Vzpomeňme si na události \(U_1,U_3\) a \(U_4\), které jsme používali výše. \(U_1\) byl průlet jedné kosmické lodi kolem Země a této události jsme v soustavě Země přiřadili souřadnice \(U_1=[0\:\text{s},0\:\text{m}]\). \(U_3\) byl příchod světelného (či spíše elektromagnetického) signálu, který vyslala Země při \(U_1\), na Mars (například o tom, že kosmická loď je na cestě). \(U_4\) byla libovolná událost, která se odehrála na Marsu z pohledu Země \(60\:s\) po \(U_1\), tedy \(U_4=[60\:\text{s},54,6\cdot10^9\:\text{m}]\). Ukázali jsme, že prostoročasový interval mezi \(U_1\) a \(U_4\) je prostorupodobný, což znamená, že nic pohybující se rychlostí světla (například elektromagnetický signál) nebo pomaleji nemůže být přítomno oběma událostem. Představme si nyní, že lidé vynalezli nadsvětelný způsob komunikace, který se šíří rychleji než světlo, a současně s událostí \(U_1\) vyšle Země na Mars zprávu i tímto způsobem. \(U_4\) pak bude událost přijetí této zprávy na Marsu. Snadno si spočítáme, že aby to byla pravda, signál by se musel pohybovat z pohledu Země rychlostí \begin{equation*} \bar{v}=\frac{\Delta{}x}{\Delta{}t}=\frac{54{,}6\cdot10^9\:\text{m}}{60\:\text{s}}=9{,}1\cdot10^8\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\doteq3{,}04\:c. \end{equation*} Zatím se nic podivného neděje. Oběma signály obdrží Mars zprávu o blížící se raketě, jen nadsvětelným signálem to bude dříve. Nikdo na Zemi ani Marsu nepochybuje, že nejdříve byly signály vyslány Zemí (událost \(U_1\)) a následně zachyceny Marsem (události \(U_3\) a \(U_4\)). Problém ale nastane, když se na situaci podíváme z jiné perspektivy, konkrétně z pohledu první kosmické lodi (čárkovaná soustava). Připomeňme si nyní tabulku 3.3, respektive její část:

Tabulka 3.3a Výřez tabulky 3.3
Události	Vzt. soustava	\(\Delta{}t/\text{s}\)
\(U_1 \rightarrow U_3\)	\(S\)	\(182\)
	\(S^\prime\)	\(\boldsymbol{60{,}7}\)
	\(S^{\prime\prime}\)	\(129{,}2\)
\(U_1 \rightarrow U_4\)	\(S\)	\(60\)
	\(S^\prime\)	\(\boldsymbol{-142{,}7}\)
	\(S^{\prime\prime}\)	\(0\)

Vidíme, že v čárkované soustavě je mezi událostmi \(U_1\) a \(U_3\) stále kladný časový interval, což v naší konvenci znamená, že událost \(U_1\) se stane z pohledu lodi první a přibližně za \(60{,}67\:\text{s}\) následuje \(U_3\) (čas mezi událostmi je pochopitelně pro posádku lodi kratší). Na druhou stranu časový interval mezi \(U_1\) a \(U_4\) nám z pohledu první lodi vyšel záporný, tedy první se udála \(U_4\). Dokud byla \(U_4\) náhodná a na ničem nezávislá událost, toto přehození ničemu nevadilo. Nyní ale dostáváme velmi podivný výsledek, že z pohledu posádky lodi nejprve dorazil nadsvětelný signál na Mars a poté byl teprve vyslán ze Země, jakoby se signál vracel v čase. Nejde tu ani o žádnou iluzi, podle naší teorie tímto způsobem skutečně posádka lodi události naměří. Vidíme tedy, že připuštění signálu šířícího se nadsvětelnou rychlostí vede k porušení kauzality (a stejný argument by platil i pro pohyb libovolných částic a těles). Různí inerciální pozorovatelé by se neshodli na pořadí příčiny a důsledku, čímž vyvstává celá řada koncepčních problémů a spekulací ohledně cestování časem. Zachování kauzálního propojení událostí je patrně asi nejsilnějším argumentem, díky kterému bychom k nadsvětelným rychlostem měli být přinejmenším silně skeptičtí.

Dovolme si ještě jednu důležitou poznámku. Lorentzovu transformaci, ze které všechny naše závěry plynuly, lze odvodit místo invariance rychlosti světla alternativně předpokladem, že existuje jistá maximální možná rychlost šíření informace, na které se všichni inerciální pozorovatelé shodnou (je invariantní vůči změně inerciální soustavy). Pokud by se neshodli, existovala by preferovaná soustava, kde by byla tato rychlost největší, a narušili bychom ekvivalenci všech inerciálních systémů. Tato rychlost může být buď konečná, nebo nekonečná. Nekonečná vede na klasickou mechaniku a Galileiho transformace. Pro konečnou bychom dostali úplně stejné vztahy, kde by místo \(c\) figuroval nějaký neznámý vesmírný rychlostní limit, řekněme \(d\). Z experimentů by pak ale nezbytně vyplynulo, že \(d=c\), tj. že tato maximální možná rychlost je zároveň právě rychlost světla ve vakuu. Je zajímavé, že z hlediska rychlosti šíření můžeme rozdělit známé fyzikální jevy či objekty na dvě skupiny. Hmotné částice či tělesa z nich vytvořená se pohybují podsvětelnými rychlostmi, zatímco nehmotné „objekty“ (tj. objekty s nulovou klidovou hmotností) jako elektromagnetické vlnění (fotony), gravitační vlny či gluony, tj. částice zprostředkovávající silnou jadernou interakci, se pohybují vždy rychlostí světla. V době psaní tohoto textu (jaro 2020) je hmotnost gluonů teoreticky odhadována jako nulová a z experimentů vyplývá, že je určitě menší než řádově \(10^{-39}\:\text{kg}\).

Shrnutí třetí části

Cesta do nejbližší sluneční soustavy

Nejbližší hvězdný systém je Alfa Centauri, vzdálený \(4{,}365\) světelného roku. Vyšleme k němu raketu konstantní rychlostí \(0{,}5\:c\) vůči Zemi (opět budeme uvažovat jen průlety rakety startem a cílem, tj. bez zrychlování). Spočítejte, za jak dlouho pro nás na Zemi dorazí raketa ke svému cíli, kolik času uplyne pro posádku rakety a jak dlouhá se bude vzdálenost k cíli posádce jevit. Výsledky nám stačí v letech a světelných rocích, takže je zbytečné při výpočtu převádět na základní jednotky.

Odpověď

Relativistická atletika

Vžijme se na chvíli do role pedantického atletického rozhodčího. Poté, co jsme si přečetli o speciální relativitě a změnách, které přináší do našeho chápání času a prostoru, bychom rádi zjistili, jestli náhodou není třeba i v atletice začít používat STR. Nejrychleji se pohybují sprinteři při závodu na \(100\:\text{m}\), takže se v našem rozboru omezíme na tuto disciplínu. Jako příklad si vezmeme světový rekord v běhu na \(100\:\text{m}\) Usaina Bolta z roku 2009, který byl \(9{,}58\:\text{s}\). Tyto údaje jsou samozřejmě naměřeny na stadionu, v soustavě spojené se zemí. V řeči STR, mezi dvěma událostmi (start závodu a proběhnutí cílem) uběhl v naší klidové soustavě čas \(\Delta{}t=9{,}58\:\text{s}\). Prostorově dělí události vzdálenost \(\Delta{}x=100\:\text{m}\). Dovolíme si na tomto místě malé zjednodušení a panu Boltovi přiřadíme jeho průměrnou rychlost \(v=\Delta{}x/\Delta{}t\). I když je jasné, že ve skutečnosti neběží pořád stejně rychle, jelikož se musí dostat co nejrychleji z nuly na svou maximální možnou rychlost. Zkuste nyní spočítat, kolik času uběhne pro pana Bolta během jeho idealizovaného závodu a jakou vzdálenost podle svého měření skutečně uběhne (pozor, díky malé rychlosti půjde o extrémně malé rozdíly, takže budete potřebovat kalkulačku, která zvládne hodně desetinných míst).

Odpověď

Vesmírná přestřelka

Dvě znepřátelené vesmírné lodě se utkaly v bitvě. První z nich se pohybuje rychlostí \(0{,}01\:c\) vzhledem k protivníkovi a vypustí torpédo ze svého pohledu rychlostí \(0{,}4\:c\). Druhá loď zaregistruje vystřelení torpéda na svých elektromagnetických senzorech 5 sekund svého času po jeho vypuštění. K provedení úhybného manévru potřebuje druhá loď alespoň 10 sekund svého času. Za předpokladu, že automaticky začne manévr v momentě, kdy zaregistruje blížící se torpédo, stihne se mu vyhnout? Zkuste postupovat následujícím způsobem:

1. Počítejte v klidové soustavě druhé lodi. Jak daleko od ní došlo k vypuštění torpéda, jestliže se k ní informace dostávala 5 sekund (předpokládáme, že její senzory zachycují elektromagnetické záření).
2. Jakou rychlostí se přibližuje torpédo k druhé lodi? Jinými slovy, jakou má torpédo rychlost v soustavě spojené s uhýbající lodí?
3. Jakou vzdálenost urazilo torpédo za 5 sekund, než se o něm posádka lodi dozvěděla? Kolik mu tím pádem zbývá k cíli?
4. Za jak dlouho urazí tuto zbývající vzdálenost?

Odpověď

Rozpad kaonu \(K^+\)

Kaon \(K^+\) je elementární částicí s průměrnou dobou života \(12{,}38\:\text{ns}\), naměřenou v jeho klidové soustavě. V laboratoři jsou generovány kaony o rychlosti \(99\:\%\) rychlosti světla. Jaký bude průměrný dolet kaonů? Proveďte klasický i relativistický výpočet a porovnejte.

Odpověď

Různé soustavy a události

Jako naši klidovou soustavu si vezměme soustavu Slunce-Země, s počátkem souřadnic na povrchu Slunce. Pro jednoduchost umístíme Zemi na osu \(x\) a na chvíli zapomeneme na její oběh kolem Slunce (což můžeme udělat, pokud naše úvahy nebudou zahrnovat příliš dlouhé časy) a stejně tak pohyb Slunce samotného v rámci naší galaxie. Vezměme si dvě události v této inerciální soustavě. Události \(U\) – erupci na Slunci – přiřadíme souřadnice \(t_U=0\:\text{s}\) a \(x_U=0\:\text{m}\) (protože se v našem jednoduchém nastavení soustavy nebudou měnit souřadnic \(y\) a \(z\), budeme je v tomto příkladu vynechávat). Událost \(V\) bude zpozorování světelného záblesku z této erupce na Zemi. Přibližná průměrná vzdálenost Slunce-Země v jejich klidové soustavě je 150 miliónů kilometrů, tedy \(150\cdot10^6\:\text{km}=15\cdot10^{10}\:\text{m}\). Použijeme-li přibližnou hodnotu rychlosti světla ve vakuu \(3\cdot10^8\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), doba letu signálu a zároveň okamžik jeho dopadu v naší soustavě je \begin{equation*} t_V=\frac{15\cdot10^{10}\:\text{m}}{3\cdot10^8\:\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}=500\:\text{s}=8\:\text{min}⁡\:20\:\text{s}. \end{equation*} Naše události tedy mají v inerciální soustavě Slunce-Země souřadnice \(U[0\:\text{s};0\:\text{m}]\) a \(V[500\:\text{s};15\cdot10^{10}\:\text{m}]\) a jednoduše zjistíme, že rozdíly souřadnic mezi událostmi jsou \(\Delta{}t=500\:\text{s}\) a \(\Delta{}x=15\cdot10^{10}\:\text{m}\). Vypočítejte:

1. kvadrát prostoročasového intervalu mezi událostmi \(U\) a \(V\).
2. časovou a prostorovou vzdálenost mezi událostmi, kterou naměří posádka lodi pohybující se ve směru spojnice Slunce-Země rychlostí \(0{,}5\:c\) vůči Zemi (pozor, je zde třeba použít celou Lorentzovu transformaci, protože raketa není přítomna oběma událostem).
3. kvadrát prostoročasového intervalu mezi událostmi \(U\) a \(V\) v soustavě kosmické lodi.

Odpověď