Násobení vektorů

V kapitole o kroutivém momentu jsme počítali velikost momentu síly M podle jednoduchého vztahu

kde F je velikost působící síly a d je kolmá vzdálenost této síly od osy otáčení. Také jsme se dozvěděli, že moment síly je vektor a kromě jeho velikosti tedy záleží i na jeho směru. Fyzikové používají elegantní matematický způsob, jak vyjádřit moment síly M přímo jako vektor pomocí vztahu:

kde r je polohový vektor působiště síly F vzhledem k ose otáčení jako počátku (není tedy dokonce ani potřeba zjišťovat kolmou vzdálenost síly).

Co tedy znamená uvedený zápis s křížkem?

Jedná se o takzvaný vektorový součin dvou vektorů, který je pro dva vektory

definován vztahem:

Z definičního vztahu vyplývá, že výsledek vektorového součinu je opět vektor. Podívejte se na pomůcku, jak lze rychle vyjádřit složky výsledného vektoru.

Výsledný vektor vektorového součinu má zajímavé vlastnosti, které se přesně hodí například právě pro moment síly. Je vždy kolmý na dva násobené vektory, přičemž jeho směr závisí na pořadí násobení vektorů. (Vektorový součin tedy není komutativní operace!) Směr můžeme určit například pomůckou s pravou rukou: Přiložíme-li pravou ruku kolmo k vektorům tak, že prsty směřují od špičky prvního násobeného vektoru ke špičce druhého, pak vztyčený palec ukazuje směr výsledného vektoru, viz následující obrázek. ŭkáme, že první násobený, druhý násobený a výsledný vektor (v tomto pořadí) tvoří takzvaný pravotočivý systém.

Při prohození násobených vektorů se změní výsledný vektor na opačný.

Velikost součinového vektoru c se dá spočítat jako

kde a, b jsou velikosti násobených vektorů, a je úhel, který tyto vektory svírají. Uvedený vztah zcela odpovídá našemu jednoduchému vztahu pro výpočet velikosti momentu síly. Podle pravoúhlého trojúhelníku na vedlejším obrázku totiž můžeme psát:

Další zajímavou vlastností využívanou ve fyzice i v matematice je, že velikost výsledného vektoru vektorového součinu odpovídá číselně ploše rovnoběžníku určeného násobenými vektory. Na obrázku vlevo jsou násobené vektory a a b zvoleny "šikovně" v rovině xy, pro plochu S zobrazeného rovnoběžníku odtud můžeme psát:

Vyjádříme-li si dále vektory na obrázku ve složkách

můžeme spočítat z definice vektorového součinu složky výsledného vektoru c:

Vidíme, že výsledný vektor má nenulovou pouze složku ve směru osy z, to znamená, že je skutečně kolmý na rovinu xy, ve které leží vektory a a b. Nakonec můžeme určit také velikost výsledného vektoru

která vychází, jak jsme předpokládali, rovna ploše rovnoběžníku. Tím jsme ukázali, že zavedené vztahy si opravdu odpovídají a že definice vektorového součinu (jako operace se složkami vektorů) má i správnou geometrickou interpretaci.

Pro ještě lepší představu o vektorovém součinu a pro ověření, zda dokážete vektorový součin správně počítat si pohrajte s interaktivním appletem. Můžete zde dokonce zobrazovat složky vektorů i ve sférických souřadnicích.

Kromě zmi�ného momentu síly se vektorový součin ve fyzice používá pro vyjádření dalších veličin, jako je například moment hybnosti, nebo magnetická síla působící na pohybující se nabitou částici.

Vedle uvedeného vektorového součinu se běžně (a relativně častěji) používá ještě jiný takzvaný skalární součin dvou vektorů.

Čím se liší skalární a vektorový součin vektorů?

Hlavním rozdílem kromě způsobu zápisu je, že výsledkem skalárního součinu (jak název napovídá) je skalár a ne vektor. Skalární součin dvou vektorů a, b zapisujeme tečkou mezi vektory a jeho hodnotu určujeme ze vztahu

kde a, b jsou velikosti skalárně násobených vektorů, a je úhel, který násobené vektory svírají.

Typickou ukázkou skalárního součinu je například definiční vztah pro práci W vykonanou silou F při posunutí daném vektorem s:

Uvedený skalární součin můžeme vyjádřit jako

kde F je velikost působící síly, s je vzdálenost o kterou se předmět posunul, a je úhel, který svírala síla se směrem pohybu, viz vedlejší obrázek.

Z posledního vztahu a obrázku je zřejmé jakou roli zde hraje skalární součin - násobí vzdálenost uraženou předmětem se složkou síly ve směru pohybu: Fcosa. To je rozumné, protože právě tato složka koná skutečně práci. Pokud bude vektor síly F kolmý na směr pohybu, je tato složka nulová a síla v daném směru nekoná žádnou práci.

Shrnutí

Souřadnice a vektory

Kroutivý moment