FyzWeb síly |
||||||||||||||||
Souřadnice a vektoryPokud chceme počítat složitější příklady z fyziky, je potřeba nějakým rozumným způsobem umět zapsat fyzikální veličiny. U skalárních veličin je to jednoduché - stačí zapsat jejich velikost s příslušnou jednotkou.
Nejčastěji používaný způsob - zápis ve složkách pravoúhlých (kartézských) souřadnic, si můžeme představit na jednoduchém příkladu. Představte si, že chcete například programovatelnému modelu vrtulníku zadat informace o tom, kterým směrem v prostoru má letět. Můžete to udělat tak, že mu sdělíte, kolik délkových jednotek má urazit každou sekundu směrem na sever, kolik jednotek východním směrem, a kolik jednotek směrem nahoru. Tak bude jednoznačně určena jeho poloha i vzdálenost, kterou urazil. To dohromady určuje takzvaný polohový vektor. Hodnoty jednotek délky uražených za nějaký čas v severním, východním a svislém směru určují takzvané složky polohového vektoru. Pokud bychom potřebovali, aby vrtulník letěl na jich, zadáme jednoduše složku v severním směru zápornou (stejně i s ostatními složkami). Na příkladu polohového vektoru vrtulníku vidíme, že je důležité zvolit si počátek a pevně dané směry, vůči kterým budeme určovat složky vektoru. Nejpoužívanější jsou právě pravoúhlé souřadnice dané třemi navzájem kolmými směry.
Vektor na obrázku tedy konkrétně zapíšeme jako:
V kapitole O vektorech jsme viděli, že například sčítání a odčítání vektorů jako matematická operace nezávisí na jejich umístění, vektory můžeme při zachovaném směru libovolně přesouvat. Pokud ale uvažujeme například výsledný účinek dvou sil působících na konkrétní těleso, zajímají nás také působiště sil. V obou případech na následujícím obrázku je součet sil působících na těleso nulový, v prvním případě však bude těleso v klidu, ve druhém se bude otáčet, protože je nenulový výsledný moment sil. Síly na obrázku vlevo pouze roztahují těleso, síly na obrázku vpravo s tělesem otáčí. Operace s vektory ve složkáchZnáme-li složky vektoru, můžeme snadno určit velikost vektoru jako délku "příslušné šipky" pomocí pythagorovy věty: Násobení vektoru skalárem se projeví tak, že uvažovaným skalárem vynásobíme jednotlivé složky: Pokud si spočítáte velikost vektoru vynásobeného skalárem k, vyjde vám k - násobek délky původního vektoru, což odpovídá k - násobnému prodloužení šipky: Sčítání vektorů znamená jednoduše sečíst jednotlivé složky vektorů. Stejně tak rozdíl dvou vektorů vyjádříme jako rozdíl odpovídajících složek.
i, j a k jsou přitom jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x, y a z, viz vedlejší obrázek. (k zde tedy neznamená násobek vektoru!) Jiné typy souřadnic
Chceme-li například popsat, jak se mění polohový vektor ventilku kola vůči ose otáčení, bude se v polárních souřadnicích měnit pouze jedna složka - úhel j, složka r - velikost vektoru zůstává stejná. Pokud bychom chtěli stejný vektor popisovat v kartézských souřadnicích, budou se komplikovaně měnit obě složky vektoru.
Zkuste se zamyslet nad tím, kde by bylo výhodné použít válcové souřadnice.
Při popisu polohy na Zemi, kterou uvažujeme za kouli je velikost polohového vektoru (poloměr Země) konstantní a mění se pouze úhly q a j, které nazýváme zeměpisná šířka a zeměpisná délka. Kromě popsaných typů souřadnic se používají i další speciální souřadnice (například parabolické, hyperbolické, logaritmické...), ty však nejsou zdaleka tak časté.
|