O vektorech Násobení vektorů

Souřadnice a vektory

Pokud chceme počítat složitější příklady z fyziky, je potřeba nějakým rozumným způsobem umět zapsat fyzikální veličiny. U skalárních veličin je to jednoduché - stačí zapsat jejich velikost s příslušnou jednotkou. 

Jak ale vyjádříme zároveň velikost i směr vektorů?

Nejčastěji používaný způsob - zápis ve složkách pravoúhlých (kartézských) souřadnic, si můžeme představit na jednoduchém příkladu. Představte si, že chcete například programovatelnému modelu vrtulníku zadat informace o tom, kterým směrem v prostoru má letět. Můžete to udělat tak, že mu sdělíte, kolik délkových jednotek má urazit každou sekundu směrem na sever, kolik jednotek východním směrem, a kolik jednotek směrem nahoru. Tak bude jednoznačně určena jeho poloha i vzdálenost, kterou urazil. To dohromady určuje takzvaný polohový vektor.

Hodnoty jednotek délky uražených za nějaký čas v severním, východním a svislém směru určují takzvané složky polohového vektoru. Pokud bychom potřebovali, aby vrtulník letěl na jich, zadáme jednoduše složku v severním směru zápornou (stejně i s ostatními složkami).

Na příkladu polohového vektoru vrtulníku vidíme, že je důležité zvolit si počátek a pevně dané směry, vůči kterým budeme určovat složky vektoru. Nejpoužívanější jsou právě pravoúhlé souřadnice dané třemi navzájem kolmými směry.

Na vedlejším obrázku je znázorněn vektor v pravoúhlé soustavě souřadnic se znázorněnými složkami. Matematicky zapisujeme vektor ve složkách pomocí závorky:

Vektor na obrázku tedy konkrétně zapíšeme jako:

Pro počítání s vektory je důležité si uvědomit, že složky vektoru určují pouze jeho velikost a směr. To znamená, že například všechny šipky na vedlejším obrázku můžeme vyjádřit jako jeden vektor. Říkáme, že jednotlivé šipky vyjadřují pouze různé umístění vektoru. 

V kapitole O vektorech jsme viděli, že například sčítání a odčítání vektorů jako matematická operace nezávisí na jejich umístění, vektory můžeme při zachovaném směru libovolně přesouvat. Pokud ale uvažujeme například výsledný účinek dvou sil působících na konkrétní těleso, zajímají nás také působiště sil. V obou případech na následujícím obrázku je součet sil působících na těleso nulový, v prvním případě však bude těleso v klidu, ve druhém se bude otáčet, protože je nenulový výsledný moment sil.

 Síly na obrázku vlevo pouze roztahují těleso, síly na obrázku vpravo s tělesem otáčí.

Operace s vektory ve složkách

Známe-li složky vektoru, můžeme snadno určit velikost vektoru jako délku "příslušné šipky" pomocí pythagorovy věty:

Násobení vektoru skalárem se projeví tak, že uvažovaným skalárem vynásobíme jednotlivé složky:

Pokud si spočítáte velikost vektoru vynásobeného skalárem k, vyjde vám k - násobek délky původního vektoru, což odpovídá k - násobnému prodloužení šipky:

Sčítání vektorů znamená jednoduše sečíst jednotlivé složky vektorů. Stejně tak rozdíl dvou vektorů vyjádříme jako rozdíl odpovídajících složek.

Pomocí  appletu si můžete vyzkoušet a ověřit, že právě definovaný způsob sčítání vektorů odpovídá geometrické konstrukci výsledného vektoru.

Jiný  applet vám umožní znázornit součet dvou vektorů v prostoru (se všemi třemi složkami) a určit složky výsledného vektoru.

Uvedené operace s vektory umožňují zapsat vektor ještě jiným způsobem, který se ve fyzice často používá - jako součet tří vektorů mířících ve směrech souřadných os.

i, j a k jsou přitom jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x, y a z, viz vedlejší obrázek. (k zde tedy neznamená násobek vektoru!)

Jiné typy souřadnic

Mnohdy se vyplatí popisovat vektory v jiných než v pravoúhlých kartézských souřadnicích. Mezi nejpoužívanější patří například polární souřadnice. Ty popisují vektory pouze v rovině a to pomocí dvou čísel - velikosti vektoru r a úhlu vektoru j, který svírá se zvolenou polopřímkou (osou x), viz vedlejší obrázek.

Chceme-li například popsat, jak se mění polohový vektor ventilku kola vůči ose otáčení, bude se v polárních souřadnicích měnit pouze jedna složka - úhel j, složka r - velikost vektoru zůstává stejná. Pokud bychom chtěli stejný vektor popisovat v kartézských souřadnicích, budou se komplikovaně měnit obě složky vektoru.

Vyzkoušejte si pomocí  appletu, jak se mění složky vektorů v polárních souřadnicích při sčítání a odčítání vektorů.

Přidáme-li k polárním souřadnicím ještě výšku z nad zvolenou rovinou, dostaneme takzvané válcové nebo cylindrické souřadnice, které se hodí pro popis objektů s válcovou symetrií, viz obrázek vlevo. Vektor v těchto souřadnicích vyjádříme obdobně jako u polárních souřadnic:

Zkuste se zamyslet nad tím, kde by bylo výhodné použít válcové souřadnice.

Dalším typem souřadnic, které určitě znáte například ze zeměpisu jsou kulové nebo sférické souřadnice. Jak název napovídá, používají se především při popisu kulově symetrických problémů. Složky vektoru umístěného ve zvoleném počátku jsou opět délka r vektoru a dále dva úhly q a j měřené od dvou zvolených kolmých polopřímek, viz obrázek vpravo. Vektor se pak zapisuje ve složkách jako:

Při popisu polohy na Zemi, kterou uvažujeme za kouli je velikost polohového vektoru (poloměr Země) konstantní a mění se pouze úhly q a j, které nazýváme zeměpisná šířka a zeměpisná délka.

Kromě popsaných typů souřadnic se používají i další speciální souřadnice (například parabolické, hyperbolické, logaritmické...), ty však nejsou zdaleka tak časté.

Shrnutí

O vektorech Násobení vektorů