Páka

Představte si pokácený kmen stromu (postupně se zužující směrem ke špici) zavěšený ve vodorovné poloze na překládacím jeřábu (kmen je tedy vyvážen). Kmen nyní rozřízneme v místě zavěšení na dvě části.

Která část bude těžší? Nebo budou obě stejně těžké?

Asi je vám jasné, že uvedený problém nějak souvisí s takzvanou rovnováhou na páce, o které jste už určitě alespoň něco zaslechli. Pojďme si tedy připomenout, co vysvětluje tento jeden z vůbec prvních matematicky formulovaných fyzikálních zákonů.

Pohrajte si s počítačovým modelem páky, která se může volně otáčet kolem svého středu a na niž lze zavěšovat do různé vzdálenosti stejná závaží.

Co musí platit pro závaží aby byla páka v rovnováze - tj. nepřeklápěla se?

Pokud nevěříte virtuálnímu modelu (naprogramovat se dá cokoli) vyrobte si vlastní jednoduchou páku a ověřte si své názory v reálných, nefingovaných podmínkách. Návod

Pověsíme-li na opačné strany páky po jednom závaží, je situace poměrně jednoduchá. Stejně těžká závaží musí být stejně daleko od osy otáčení, aby byla páka v rovnováze. Jestliže je jedno ze závaží těžší, musíme jej posunout blíž k ose otáčení. Snadno se přesvědčíme, že dvakrát těžší závaží na jedné straně musí být v poloviční vzdálenosti od osy, než závaží na druhé straně, třikrát těžší závaží musí být třikrát blíže, čtyřikrát těžší čtyřikrát blíže (ve čtvrtinové vzdálenosti) a tak dále.

Matematicky to můžeme vyjádřit jednoduchou rovnicí

kde F₁ je velikost síly působící kolmo na páku ve vzdálenosti d₁ od osy otáčení, F₂ je velikost síly působící kolmo na opačné straně páky ve vzdálenosti d₂ od osy otáčení. Vzdálenosti d₁ se říká rameno síly F₁, stejně vzdálenosti d₂ rameno síly F₂.

Podívejme se na naši rovnici pro rovnováhu na páce ještě trochu podrobněji. Síla F₁ se snaží otáčet pákou kolem její osy jedním směrem, F₂ směrem opačným. Je-li páka v rovnováze (neotáčí se), můžeme říct, že otáčivé účinky obou těchto sil jsou stejně velké (pouze působí proti sobě). Víme už, že otáčivý účinek síly vyjadřuje veličina moment síly a rovnici pro rovnováhu na páce tedy můžeme zapsat jako

kde M₁ je velikost momentu první síly, M₂ síly druhé. Výrazy M₁ = F₁. d₁ a M₂ = F₂ . d₂ přitom přesně vyjadřují to, co už víme o momentu síly - že je tím větší, čím větší je síla a čím větší je její vzdálenost od osy otáčení.

Ze zkušenosti určitě víte, že různé druhy pák využíváme každý den v mnoha zařízeních. Známým příkladem je třeba stavební kolečko, které možná používáte na zahrádce. Schematicky si ho můžeme představit jako jednoduchou páku, která se ale trochu liší od našeho modelového příkladu. Osa otáčení je totiž na konci páky (v ose kola) a obě síly proto působí na stejné straně. Také v tomto případě ale platí, že jedna síla otáčí pákou na jednu stranu (náklad tlačí kolečko směrem dolů), druhá síla otáčí páku opačným směrem (ruce zvedají kolečko nahoru).

Naše pozorování tedy můžeme shrnout takto: Aby byla uvažovaná páka v rovnováze, musí být momenty sil, které na ni působí, stejně velké a navíc musí působit opačným směrem, aby se vzájemně vyrušily.

Konkrétní velikost síly nebo délky ramene potom snadno spočítáme z rovnice pro páku. Představme si například, že na kolečku vezeme 80 kg těžký náklad. Jakou silou musíme zvedat rukojetě? Uvažujme například vzdálenosti (podle obrázku) d₁ = 0,5 m, d₂ = 1,6 m. Hmotnosti 80 kg odpovídá tíhová síla F₁ = 800 N. Rukojetě tedy musíme zvedat silou:

Pokuste se podobně určit chybějící velikosti veličin v několika jednoduchých příkladech.

Dovedete nyní odpovědět na úvodní otázku, která část vodorovně zavěšeného kmene stromu je těžší?

Máte-li už problém dobře rozmyšlený, podívejte se na odpověď.

Pokuste se nejdříve sami vymyslet co nejvíce příkladů, kde všude lze v praxi najít různé páky a k čemu se používají a potom se podívejte na některé možnosti.

Zajímalo by vás jak těžký je nějaký drobný šperk, bonbón, knoflík, nebo jiný lehký předmět? Vyrobte si velmi jednoduché a zároveň přesné vážky.