O rovnováze

Pod slovem "mobil" se vám zřejmě vybaví mobilní telefon. Dříve se tak ale mimo jiné označovaly známé pouťové ozdoby tvořené různými předměty navěšenými a vyváženými na nestejně dlouhých tyčkách.

Takový jednoduchý mobil si můžete snadno a rychle udělat sami a vyzkoušet pomocí něho své známé. Podrobnosti

Dokážete seřadit podle hmotností krabičky na úvodní fotografii?

Svoji odpověď, která krabička je nejtěžší, a která nejlehčí, si můžete prakticky ověřit vyrobením vlastního mobilu. Dokážete také teoreticky vysvětlit, proč tomu tak má být (případně určit správné poměry hmotností krabiček)? Podle jakých pravidel byste řešili podobné složitější problémy, které byste si neměli možnost prakticky ověřit?

Celý náš mobil je vyvážený a pokud se ani neotáčí, ani nepohybuje vzhledem k Zemi, říkáme, že se nachází v takzvané statické rovnováze. Aby bylo jakékoli těleso v rovnováze, musí splňovat dvě základní podmínky, se kterými jsme se konkrétně setkali už v případě rozkladu síly na dvě rovnoběžné složky v kapitole o rozkladu sil:

I. Celkový součet všech sil působících na těleso je nulový:

II. Celkový součet všech momentů sil působících na těleso je nulový:

Síly i momenty ve vztazích pro rovnováhu jsou vektory, při dosazování jejich velikostí tedy musíme uvažovat směr sil a smysl otáčení způsobeného momenty sil.

Ukažme si, jak se využívají podmínky rovnováhy na konkrétním příkladě:

Rukou ohnutou v lokti držíme kbelík vody o hmotnosti m_k= 10 kg. Zajímá nás, jakou silou je přitom napínán úpon bicepsu, který drží zvednutou ruku s kýblem. Hmotnost předloktí budeme uvažovat přibližně m_p = 1,8 kg.

Celé předloktí si můžeme představit jako jednoduchou páku, na kterou působí čtyři síly jako na vedlejším obrázku: F_k = m_kg (g je tíhové zrychlení o velikosti přibližně 10 m.s^-2) je tíha kýble s vodou, F_p = m_pg je tíha předloktí, F je síla, kterou působí kost paže v loketním kloubu na předloktí, F_t je tahová síla bicepsu. Vzdálenosti působišť jednotlivých sil od osy otáčení procházející loketním kloubem můžeme uvažovat přibližně d = 4 cm, d_p = 15 cm, d_k = 35 cm.

Všechny síly působí ve svislém směru. První podmínku rovnováhy (rovnost sil) můžeme tedy zapsat pomocí velikostí sil, přičemž síly mířící zvoleným směrem (nahoru) budou kladné, opačně mířící síly záporné:

Podmínku rovnováhy momentů sil vzhledem k ose procházející loketním kloubem lze potom zapsat jako:

a je úhel který svírá předloktí s vodorovnou rovinou, momenty sil způsobující otáčení jedním vybraným směrem jsou kladné, momenty otáčející předloktí opačným směrem záporné.

V podmínce pro rovnováhu momentů sil nepočítáme se silou F, protože její moment vzhledem k vybrané ose otáčení je nulový. Díky tomu, že jsou všechny síly rovnoběžné, můžeme také vykrátit člen cosa, který je u všech momentů stejný (výsledek nezávisí na úhlu ohnutí předloktí). Z druhé podmínky tak můžeme hned vyjádřit velikost síly, kterou působí biceps na předloktí:

Dosazením do první podmínky (rovnováhy sil) pak můžeme vyjádřit také velikost síly, kterou působí pažní kost v lokti na kost loketní:

Po dosazení uvažovaných hodnot vychází síla napínající úpon bicepsu přibližně F_t = 943 N a síla působící na loketní kloub F = 825 N. Z výsledků je vidět, jak velkými silami mohou být namáhány kosti, šlachy a svaly při zátěži. Proto také může při náhlém přetížení, například během sportovního výkonu, snadno dojít k natažení či natržení šlach, eventuelně k vymknutí kloubu.

Na vedlejší fotografii a obrázku je znázorněn stavební (věžový) jeřáb. Šířka podstavce je 4,6 m, maximální délka vodorovného ramene je 40 m. V technické dokumentaci je uvedeno, že při použití kratšího ramene o délce 28 m může jeřáb zvedat na konci ramene maximálně 4,1 t těžký náklad. Při použití čtyřicetimetrového ramene může ve stejné vzdálenosti (28 m) zvedat maximálně 2,8 t. Hmotnost háku s posuvnými kladkami je 200 kg. Jeřáb je konstruován tak, že svislá část jeřábu je umístěna nad přední hranou podstavce, protizávaží nad zadní hranou podstavce, viz vedlejší obrázek.

Jak velká je hmotnost protizávaží?

Jak těžký náklad může jeřáb zvedat na konci čtyřicetimetrového ramena, aby se nepřevrhnul? Přijdete sami na správné řešení?

Rovnováhy sil a momentů sil člověk už dávno využívá také při konstrukci různých kladkových mechanismů. Na vedlejším obrázku je znázorněno schéma nejjednoduššího kladkostroje, sestaveného z jedné pevné a jedné volné kladky. Velikosti sil působících z obou stran na kladku jsou stejné, protože se rovnají velikosti jejich momentů (to platí pro pevnou i volnou kladku). Z podmínky pro rovnováhu sil potom vyplývá, že volná kladka zvedá břemeno silou dvakrát větší, než působíme na konec provazu.

Vyzkoušejte si pomocí appletu zvedání se složitějšími kladkostroji a promyslete si, jaké síly působí na jednotlivé kladky a na zvedané břemeno.

Podíváte-li se kolem sebe, zjistíte, že spousta nástrojů, které běžně používáme, využívá nějakého pákového mechanismu. Všechny takové mechanismy využívají principů statické rovnováhy. Na fotografii jsou například vyobrazeny nůžky na stříhání plechu, složené z několika pohyblivých pák.

Pokuste se z fotografií určit (alespoň přibližně), jaký poměr je mezi silami, kterými mačkáme rukojetě nůžek a silami, které působí na plech při stříhání.

Proč je ostří nůžek mírně prohnuté?

Zkuste dané problémy vyřešit nejdříve sami, teprve potom se podívejte se na možná řešení.

Nyní už byste měli být schopni odpovědět na úvodní problém, která z krabiček našeho "mobilu", zobrazeného na začátku stránky, je nejtěžší a která nejlehčí, případně jaké jsou poměry jejich hmotností. Řešení