Poloha těžiště

Jak dlouhý převis dokážete postavit z dřevěných kostek?

Vezměte si čtyři kostky domina, nebo podobné kvádříky (kostky, krabičky od kazet, knihy...) a pokuste se je narovnat na sebe (jednu na druhou) na kraj stolu tak, aby vrchní kostka přesahovala o co největší vzdálenost okraj stolu. Jak narovnat kostky, abychom vytvořili co nejdelší "převis", který ještě nespadne?

Až vymyslíte nejlepší kombinaci, jak na sebe kostky narovnat, vyzkoušejte si následující interaktivní model stejného pokusu, na kterém můžete sledovat polohy těžišť kostek.

Uměli byste spočítat délku maximálního převisu?

Troufnete si odhadnout, jaký nejdelší převis byste byli schopni teoreticky vytvořit, pokud byste měli k dispozici neomezené množství kostiček? A jak by byl takový převis vysoký?

Jistě jste si všimli, co musí platit pro polohy kostek, aby náš převis nespadl. Kostky musíme rovnat na sebe tak, že se celkové těžiště všech kostek stále nachází nad deskou stolu. Jakmile vodorovná vzdálenost celkového těžiště přesáhne okraj stolu, přestane být převis v rovnováze a spadne. Stejně nesmí například těžiště dvou horních kostek přesáhnout okraj kostky pod sebou. Každá kostička má symetrický tvar. Snadno tedy uhodneme, že těžiště jedné kostky se nachází přesně v jejím středu.

Jak ale určíme polohu těžiště nepravidelného tělesa?

To je poměrně složitý úkol, jestliže je těleso hodně nepravidelné. Pokud se ale těleso skládá z několika pravidelných částí, dokážeme polohu celkového těžiště spočítat. Vezměte si dvě různě těžké plastelínové kuličky (například 7 g a 21 g těžké) a navlékněte je na konce špejle tak, že středy kuliček jsou vzdálené 30 cm od sebe. Poznámka

Dokážete určit, kde bude ležet těžiště takové "činky"?

Asi odpovíte, že vzdálenost těžiště od menší kuličky bude třikrát větší než vzdálenost od větší (třikrát těžší) kuličky. Pojďme se přesvědčit, jestli tomu tak skutečně je a proč.

Těžiště tělesa je působištěm výsledné tíhové síly působící na toto těleso. V našem případě působí na plastelínové kuličky o hmotnostech m₁ a m₂ v jejich středech tíhové síly o velikostech F₁ = m₁g a F₂ = m₂g. (g = 10 m.s^-2 je přibližná velikost tíhového zrychlení) Výsledná tíhová síla působící v těžišti je tedy vektorovým součtem sil F₁ a F₂ a musí mít na těleso stejný otáčivý účinek jako tyto síly.

Zvolíme si libovolně osu otáčení - například ve středu menší kuličky a napíšeme momentovou větu pro všechny síly vůči této ose. Moment výsledné tíhové síly F_T se musí rovnat součtu momentů sil F₁ a F₂. Pro velikosti momentů potom dostáváme

a po vykrácení tíhového zrychlení g:

x_T je hledaná vzdálenost těžiště od zvoleného počátku, x₁ je rameno síly F₁ (v našem případě je nulové, protože jsme si zvolili šikovně osu otáčení), x₂ = 30 cm je rameno síly F₂. Vzdálenost těžiště naší "činky" od středu menší kuličky by tedy měla být:

Ověřte si tento výsledek vyvážením špejle s kuličkami na ostří nože. V rovnovážné poloze by "činka" měla být podložena přesně pod těžištěm.

Souhlasí spočítaná vzdálenost těžiště s hodnotou určenou pokusem?

Pokud ne přesně, mohlo by to být způsobeno tím, že jsme si vůbec nevšímali hmotnosti špejle, která také ovlivňuje polohu těžiště. Uvažujeme-li hmotnost špejle přibližně m₃ = 1 g (poznámka), přibude nám ještě tíhová síla špejle o velikosti F₃ = m₃ g, působící v těžišti (tj. ve středu) špejle.

Z rovnosti momentů sil nyní po vykrácení tíhového zrychlení dostáváme vztah

kde x₃ = 15 cm je vzdálenost těžiště špejle od osy otáčení. Pro upravenou polohu těžiště vychází:

Tato hodnota už by měla odpovídat poměrně přesně poloze těžiště zjištěné vyvážením na noži. Záleží samozřejmě na tom, jak přesně jsme měřili jednotlivé hodnoty.

Pokuste se podobně najít polohu těžiště různých jiných kombinací špejle a kuliček jako například na následujících fotografiích. Těžiště nejdříve najděte experimentálně, teprve potom jeho polohu spočítejte, aby vás výpočet neovlivňoval při pokusu!

Nyní už byste měli být schopni spočítat, jaký nejdelší převis lze postavit ze čtyřech kostiček domina. "Otrlejší povahy" se mohou pokusit spočítat matematicky obtížnější úlohu - jak dlouhý a vysoký převis lze narovnat z n kostiček. Řešení.

Obdobně, jako předchozí příklady bychom uměli spočítat polohu těžiště libovolné soustavy těles o hmotnostech m₁, m₂,...,m_n. Pokud jsou vzdálenosti těžišť jednotlivých těles od zvoleného počátku v jednom určitém směru (např. vodorovně, nebo svisle) x₁, x₂,...,x_n, platí pro vzdálenost těžiště celé soustavy x_T:

a odtud vzdálenost těžiště soustavy od zvoleného počátku v daném směru:

Rozhodněte pomocí výpočtu těžiště, zda pobořené zdi na dolních obrázcích zůstanou stát, nebo se překlopí na jednu či druhou stranu. Cihly ve zdech jsou navzájem pevně spojeny maltou, spodní cihla stojí volně na zemi a není k ní nijak přichycena.

Obr. I Obr. II

Podařilo se vám spočítat, zda zdi spadnou nebo ne? Podívejte se na výsledek.