Úvod

Obecné informace

Materiál popisuje základní vlastnosti sil, operace s vektory a statiku tuhého tělesa. Dané téma je přitom zpracováno ve třech úrovních obtížnosti. Základní úroveň je vhodná pro výuku na základních školách a v odpovídajících ročnících víceletých gymnázií, nebo může sloužit jako opakování a základní přehled při výuce na středních školách. Druhá úroveň odpovídá požadavkům učiva mechaniky na středních školách. Nejvyšší úroveň představuje rozšíření středoškolského učiva (především operace s vektory ve složkách a obecný výpočet těžiště tělesa) a je vhodná například pro výuku ve fyzikálních seminářích, pro přípravu na vysokoškolské studium, nebo pro doplnění výuky matematiky s jasně specifikovanou mezipředmětovou vazbou.

Třináct hlavních kapitol na sebe volně navazuje a lze je procházet pomocí odkazů označených šipkami v podobě turistických značek. Každá hlavní kapitola obsahuje podkapitoly, které s ní souvisí, a na které vedou z hlavních stránek odkazy označené malou turistickou značkou. Všechny tyto kapitoly jsou přístupné také pomocí klikací mapy a obsahu. Kapitoly jsou dále doplněny různými poznámkami, komentáři, řešením úloh, doplňujícími úlohami apod., které se po kliknutí na příslušný odkaz zobrazí v novém menším okně. V závěru každé hlavní kapitoly je odkaz na stručný souhrn kapitoly.

Jednotlivé kapitoly jsou barevně odlišeny podle úrovně obtížnosti. Kapitoly základní úrovně mají modré pozadí, modré linky v hlavičce a vedou na ně odkazy označené modrou šipkou. Druhá úroveň je značena obdobně zeleně a nejvyšší úroveň červeně.

Obsah a struktura jednotlivých kapitol představuje jeden z možných scénářů, jak lze dané téma probírat přímo při hodině. Výklad je veden formou problémových otázek, na které by měli žáci při výuce hledat pod vedením vyučujícího správné odpovědi. Maximální důraz je kladen také na praktické ověřování zkoumaných jevů a zákonů a na samostatnou experimentální činnost žáků. Materiál obsahuje řadu motivačních problémů, pokusů a úloh, jejichž řešení má za úkol přiblížit a lépe objasnit probírané téma.

Vlastnosti sil a statika tuhého tělesa mohou být zařazeny jako samostatné úvodní téma k mechanice. Zařazení tohoto tématu před kinematiku, která bývá pro žáky na úvod často matematicky náročná a abstraktní, může mít výrazný motivační charakter.

Materiál lze samozřejmě využít také pro doplnění výuky vedené jinou formou a v jiném uspořádání. Jednotlivé problémy úlohy a pokusy tak mohou sloužit jako inspirace při přípravě vlastního scénáře vyučovací hodiny. Jinou možností je doporučit stránky žákům jako doplňující studijní materiál, případně některé části (pokusy, praktické úlohy, rozšiřující témata...) využít jako zadání k samostatné domácí činnosti nebo k přípravě referátu.

Je potřeba zdůraznit, že materiál není rozhodně vyčerpávající a při výuce je vhodné zvláště ve fázi procvičování a ověřování znalostí doplnit jednotlivá témata dalšími příklady a problémy k řešení.

Konkrétní charakteristika a možnosti využití jednotlivých kapitol jsou popsány v následujícím textu.

Náměty k jednotlivým kapitolám

První kapitola základní úrovně představuje sílu jako vektorovou veličinu, věnuje se měření velikosti síly a určení jejího směru a působiště.

Na začátku jsou žáci vyzváni, aby uvedli konkrétní příklady různých druhů sil, které mohou pozorovat okolo sebe. Příklady mohou sepisovat samostatně nebo ve skupinkách na papír, učitel může též nápady sepisovat do seznamu na tabuli. Vzniklý seznam dává žákům jednak představu o tom, co obecný pojem síla představuje, jednak umožní třídění podle toho, co mají různé síly společného a čím se liší. V diskuzi pak vyučující vyzdvihne skutečnost, že každá síla má nějakou velikost a směr, kterým působí.

Funkce siloměru je přiblížena příkladem s pružinami na posilování, ve kterém je zdůrazněno, že velikost síly lze podle jejích účinků definovat pomocí jiných základních veličin - zde pomocí prodloužení definované pružiny. Podle návodu si mohou žáci vyrobit vlastní jednoduchý siloměr - například v rámci dobrovolného domácího úkolu (kdo sestrojí nejhezčí, nejpřesnější, jiný - originální siloměr...), nebo přímo při hodině s předem připravenými pomůckami.

Vysvětlení funkce mincíře a pružinových vah má za úkol objasnit, jak spolu souvisí hmotnost a tíhová síla působící na daný předmět.

Při grafickém znázorňování sil je vhodné zdůraznit význam působiště a objasnit nahrazení sil působících na plochu, nebo objem tělesa jedinou silou. Žáci si mohou vzájemně zadávat další příklady typu zakreslit všechny síly, které působí na tělesa v konkrétních situacích.

V závěru stránky je odkaz na rozšiřující podkapitolu s názvem čtyři interakce, která přibližuje původ různých druhů sil. Pro základní přehled je zde důležité zejména vymezení hlavních vlastností gravitační (případně elektromagnetické) síly. Téma může sloužit jako námět na referát (žáci by v takovém případě měli k problematice vyhledat pokud možno další informace a úměrně svému věku je porovnat, setřídit a správně prezentovat hlavní myšlenky).

Kapitola pojednává o základních účincích síly, rozlišuje translační a rotační pohyb a přibližuje pojem momentu síly.

V úvodu kapitoly se na příkladu srážek při hokeji ukazuje, že síla má pohybové a deformační účinky. Je vhodné, aby žáci vymýšleli další podobné příklady ze života, na kterých by doložili a rozlišili účinky sil. Při rozebírání pohybových účinků je třeba zdůraznit, že síla způsobuje změnu pohybu, žáci se například mohou zamyslet nad tím, jaké síly způsobí zastavení předmětu pohybujícího se po rovině, jak by se těleso pohybovalo bez působení těchto sil a dospět tak k obsahu Prvního pohybového zákona. Obsah kapitoly však není primárně zaměřen na popis pohybu těles, proto se dále podrobněji rozebírá především posuvný a otáčivý účinek sil.

Využití působení sil v některých základních tanečních figurách (přiblížené krátkými videi a fotografiemi) lze samozřejmě předvést ve třídě "na živo" (pokud ve třídě najdeme ochotný taneční pár, se kterým se dopředu domluvíme), nebo si mohou žáci figury po předvedení krátce vyzkoušet sami. Na základě ukázek tanečních figur by se měli žáci sami pokusit formulovat, jaký je rozdíl mezi působením síly způsobující posuvný a rotační pohyb tělesa. Svoje závěry si pak mohou ověřit pokusem se špejlí a papírovým pětiúhelníkem vystřelovaných pomocí gumičky. V diskuzi o tom, za jakých podmínek může rotovat těleso namístě pak dospějeme k pojmu dvojice sil.

V poslední části kapitoly je na základě rozboru pokusu s povolováním uzávěru lahve kvalitativně zaveden pojem momentu síly jako nové fyzikální veličiny důležité pro popis otáčivých účinků síly. Jednoduché (obrázkové) příklady na porovnání velikosti momentů sil v různých praktických situacích mají za úkol jednak objasnit, co znamená vzdálenost síly od osy otáčení, jednak se naučit odhadovat a porovnávat velikosti sil v jednotlivých příkladech. Při výuce a opakování učiva je vhodné zadávat další podobné příklady, u kterých lze porovnávat velikosti momentů sil bez nutnosti výpočtu.

V kapitole nazvané Více sil se žáci naučí skládat síly stejného a opačného směru a kvalitativně porozumět vztahu mezi silou a jejími složkami v různých směrech. Navíc je v kapitole jako jedna ze základních vlastností sil zařazen zákon akce a reakce, který žáci často chybně zaměňují se skládáním sil.

Úvodní problém představuje snadno realizovatelný pokus, při kterém se dva žáci snaží napnout dlouhý provaz, v jehož středu je uvázána láhev s vodou (nebo jiné závaží). Pokus umožňuje diskutovat nulový výsledný účinek více sil různého směru působících na těleso. Žáci se pokusí sami nakreslit síly působící na provaz a na láhev, přičemž s nimi rozebereme správné určení směrů a působišť sil.

Pravidla pro skládání rovnoběžných sil si mohou žáci sami odvodit a ověřit na základě uvedeného jednoduchého pokusu se třemi siloměry. Pokus mohou provádět frontálně ve dvojicích, nebo menších skupinkách a zformulovat písemně své závěry. Při shrnutí závěrů podtrhneme, že je potřeba určit velikost i směr výsledné síly.

Podkapitola popisující zákon akce a reakce nemusí být zařazena k tématu skládání sil. Kromě objasnění základní vlastnosti sil má tato podkapitola za úkol zdůraznit rozdíl mezi silami akce a reakce a dvěma nezávislými silami působícími na těleso, které lze složit.

Po procvičení skládání rovnoběžných sil je na úvodním problému láhve na provaze zjednodušeně ukázáno, jak lze sílu rozložit do dvou kolmých směrů. Neprobírá se zde přitom vektorový rovnoběžník, souvislost mezi směrem síly a velikostmi jejich složek lze v případě potřeby ukázat jednoduchým pokusem se dvěma kolmo spojenými siloměry, ke kterým je šikmo připevněn třetí siloměr (první dva siloměry budou ukazovat velikosti kolmých složek, třetí siloměr velikost a směr rozkládané síly).

Na závěr kapitoly jsou uvedeny některé příklady praktického využití rozkladu sil na složky. Žáci mohou vymýšlet další příklady sami například ve formě skupinové soutěže - která skupina vytvoří v daném čase nejdelší seznam různých příkladů rozkladu sil s názornými obrázky. Podle návodu si mohou žáci dohromady ve škole (nebo někdo samostatně doma) vystřihnout a slepit jednoduchý papírový model klenby.

Kapitola odvozuje a vysvětluje vztah pro rovnováhu na páce a přibližuje využití páky v technické praxi.

Úvodní problém s kmenem stromu zavěšeným vodorovně na laně lze zadat dopředu, aby měli žáci dostatek času rozmyslet, eventuelně experimentálně ověřit správné řešení. Žákovská řešení lze pak vyslechnout na začátku hodiny a zhodnocení správných řešení nechat až na závěr - po odvození vztahu pro rovnováhu na páce (žáci si mohou ještě jednou rozmyslet své řešení). 

Vztah pro rovnováhu na páce mohou žáci objevit a ověřit sami (ve dvojicích) pomocí jednoduchého frontálního pokusu se špejlí na niti a kancelářskými sponkami (použitými jako závaží). Výsledky potom shrneme a společně ukážeme na větší demonstrační páce, nebo pomocí appletu (ten může později sloužit také pro rychlé ověřování jednoduchých početních příkladů). 

Jednoduchá páka vyrobená ze špejle může později sloužit také při rychlém ověřovacím laboratorním cvičení: Žáci zavěsí na jednu stranu páky do určité vzdálenosti určitý počet sponek a vyváží ji na druhé straně jiným počtem sponek. Změří co nejpřesněji vzdálenosti sponek od osy otáčení zapíší výsledky do tabulky a srovnají je s teoretickými výpočty. Laboratorní cvičení mohou snadno realizovat i doma.

Příklady na využití páky v praxi mohou žáci doplňovat vlastním seznamem - například ve formě soutěže skupinek s cílem vymyslet v daném čase co nejvíce různých příkladů využití páky (u každého příkladu mohou uvést, jakou funkci páka zastává - zda zvětšuje sílu, mění směr síly, nebo zvětšuje rychlost). Žáci mohou také realizovat miniprojekt, ve kterém podrobně nakreslí a popíšou funkci pák u několika zařízení (používaných například v domácnosti). Zpracování může mít formu jednoduchého posteru pro umístění na nástěnku, který pak budou žáci stručně prezentovat ostatním.

V závěru kapitoly je návod na výrobu jednoduchých funkčních papírových vah, které mohou sloužit v základní verzi bez stupnice k laboratornímu cvičení vážení drobných předmětů - například mincí. Čtvrtka papíru o hmotnosti 5 g (poskládaná po délce do podoby pružku) se špendlíkem zapíchnutým například 1 cm od středu tvoří nerovnoramennou páku, kterou je potřeba vyvážit na kratší straně váženým předmětem (mincí). Ze změřených vzdáleností těžiště papíru a středu mince od špendlíku (osy otáčení) spočítají žáci na základě hmotnosti papíru hmotnost mince. Vážení lze provést opakovaně a určit aritmetický průměr výsledků (případně aritmetický průměr měření celé třídy). Při použití vytištěné vzorové páky lze s žáky trénovat odčítání hmotností různých drobných předmětů na netypických (nelineárních) stupnicích.

Poslední kapitola základní úrovně objasňuje pojem těžiště tuhého tělesa a experimentální metody jeho nalezení, dále se věnuje kvalitativnímu posouzení rovnováhy a stability těles.

Úvodní motivační problém s rovnáním hřebíků je vhodné zadat dopředu a počkat až někdo přijde na řešení. Jednoduchý pokus se smetákem na prstech, popsaný dále, už slouží přímo k navození pojmu těžiště. Vyzveme žáky aby dopředu rozhodli (například hlasováním), na kterou stranu se překlopí smeták položený na natažené ukazováčky při přibližování rukou k sobě. Žáci si mohou dopředu písemně poznamenat, proč by se měl smeták chovat podle jejich předpokladu. Správné vysvětlení předpokládá znalost vztahu pro rovnováhu na páce a intuitivní znalost pojmu těžiště a působení třecí síly. Právě pojem těžiště lze potom dále přesně specifikovat. 

Pokus se smetákem lze také opakovat v dalších verzích (například při opakování, nebo pro ověření správného pochopení pokusu): Vyzveme například žáky, aby rozhodli, jak se změní výsledek pokusu, jestliže jednu ruku podpírající smeták necháme namístě - například opřenou o stůl, a budeme přibližovat pouze druhou ruku. I starší studenti často chybně hádají, že pokus v takovém případě dopadne jinak. Při vysvětlení (u starších studentů) se tak můžeme dostat i k pojmu různých inerciálních soustav, ze kterých lze na pokus pohlížet, a ve kterých musí dopadnout pokus stejně. Podobně se můžeme ptát, zda se výsledek pokusu změní, pokus místo jednoho prstu podepřeme smeták například hladkou kovovou tyčkou, která má ve styku se smetákem nižší součinitel tření. Také zde ukážeme, že pokus dopadne stejně - žádná podpěra bez ohledu na tření nemůže (při opatrném pohybu) přesáhnout polohu těžiště, protože druhá podpěra je v takovém případě zatížena nulovou silou.

Zjišťovat polohu těžiště (například papírových desek) podepíráním a zavěšováním mohou žáci jednoduše frontálními pokusy a porovnávat tak obě metody. Na základě pozorování potom mohou sami formulovat, kde se bude nacházet těžiště předmětů s určitou symetrií a odhadovat polohu těžiště v jednoduchých příkladech.

V závěru kapitoly je odkaz na podkapitolu zabývající se popisem rovnováhy a stability těles. Vysvětlení pokusu s provazochodcem (který je známý v mnoha podobách) objasňuje spolu s dalšími jednoduchými experimenty rozdělení základních rovnovážných poloh. Po vysvětlení pokusu je vhodné ukázat na rozdíl mezi pokusem nazývaným provazochodec a skutečnou funkcí provazochodcovy tyče. Zavedení pojmu stability těles potom předpokládá intuitivní znalost pojmu práce, která žákům na této úrovni stačí k rozlišení míry stability různých těles.

První kapitola druhé úrovně objasňuje základní operace s vektory potřebné pro zacházení se silami jako vektorovými veličinami - sčítání a odčítání vektorů a násobení vektoru skalárem.

Po úvodním motivačním problému jsou postupně probírány jednotlivé operace s vektory. Applet sloužící k lepší - dynamické představě sčítání vektorů lze využít (pokud jsou k tomu podmínky) paralelně s jednoduchým modelem sčítání vektorů pomocí špejlí, který studenti provádí frontálně: Učitel předvede pomocí appletu proces sčítání různého počtu vektorů, který potom studenti napodobují pomocí špejlí. Studenti poté sami ve dvojicích zkoušejí zadané úkoly, jako například narovnat čtyři vektory v ploše tak, aby se jejich součet co nejvíce blížil nule. Při "hraní" se špejlemi si tak rychleji upevní základní zásady pro práci s vektory, které potom uplatní při kreslení vektorů a jejich součtů v konkrétních příkladech.

Obecné vztahy pro velikosti výsledných součinových a součtových vektorů je při výuce vhodné doplnit konkrétními hodnotami a nechat studenty spočítat několik základních příkladů především na velikost výsledného součtového vektoru.

V kapitole, která volně navazuje na kapitolu o účincích sil, je podrobněji rozebírán pojem momentu síly a představena momentová věta.

Úvodní pokus s krabičkou na niti může být předveden (bez vysvětlení) dopředu jako problémová úloha - co se skrývá v krabičce. Pokud studenti nepřijdou na správné řešení, může jim po probrání kapitoly jako nápověda sloužit, že se zde využívá důsledků momentové věty. Pokud studenti naopak přijdou se správným řešením dříve (můžeme je dopředu vyzvat, aby se pokusily takovou funkční krabičku také vyrobit), ukážeme na mechanismu krabičky důsledky momentové věty.

Podkapitola zabývající se srovnáním točivého momentu a výkonu motorů představuje rozšiřující učivo a může sloužit například jako námět na přípravu referátu někoho ze studentů.

Měření velikosti momentu síly, který dokážeme vyvinout zápěstím, popsané v další podkapitole, slouží k lepší představě o veličině moment síly a může být uskutečněno při výuce jako soutěž několika vybraných "třídních siláků", nebo může sloužit jako námět na praktické domácí cvičení, jehož výsledky studenti zhodnotí formou jednoduchého protokolu.

V příkladech na výpočet momentu síly s jízdním kolem je kladen důraz na rozbor příkladu - které veličiny je potřeba znát pro výpočet. Důležité je také diskutovat v jednotlivých případech směr vektoru momentu síly. Studentům je samozřejmě vhodné zadat další podobné příklady z praxe, ve kterých musí sami změřit a odhadnout potřebné veličiny.

Funkce momentových klíčů a šroubováků jako ukázka praktické aplikace potřeby veličiny momentu síly může opět sloužit jako námět pro přípravu krátkého referátu (případně může někdo funkci těchto zařízení popsat a zpracovat ve formě jednoduchého posteru pro umístění na nástěnku).

Applet v závěru stránky umožňuje rychle vyzkoušet různé případy rovnováhy na páce a kontrolovat řešení jednoduchých příkladů na momentovou větu zadaných na základě appletu studentům.

Kapitola podrobněji rozebírá rozklad sil na různoběžné i rovnoběžné složky.

Motivační problém s ohýbáním sloupů vysokého napětí v úvodu není příliš obtížný na řešení a může sloužit jako úvod k diskuzi o rozkladu sil.

Netradiční louskáček na ořechy popsaný dále může vyrobit šikovný student (jistě jeho snahu oceníme) jako pomůcku, kterou pak lze opakovaně používat. Studentům lze také ukázat pouze model louskáčku na fotografiích a videu. Ti potom dostanou za úkol nejdříve správně zakreslit síly, které na louskáček v jednotlivých bodech působí. Úkol není většinou pro studenty úplně samozřejmý a jednoduchý a na správném řešení můžeme ukázat a vysvětlit, jak se rozkládají síly na složky. Velikost jednotlivých sil a jejich složek potom určíme na základě znalostí o sčítání sil jako vektorů (v případě potřeby se můžeme krátce vrátit k patřičným partiím z kapitoly O vektorech). Teorii pak můžeme doplnit reálným změřením síly, která je potřeba k rozlousknutí ořechu a diskuzí o pevnosti ořechu v různých směrech.

Doplňující téma o využití rozkladu sil například u luku, popsané ve zvláštní podkapitole, lze pojmout jako referát s dalšími zajímavostmi, které lze o luku nalézt, případně je možné vyhledat a zpracovat další zajímavá využití rozkladu sil.

Rozklad síly na dvě rovnoběžné složky je uvozen příkladem se stěhováním skříně po schodech. Pravidla pro velikosti rovnoběžných složek sil v závislosti na jejich vzdálenostech od původní síly mohou studenti sami vypozorovat na základě jednoduchého pokusu se závažím na pravítku podepřeném na koncích dvěma stolními váhami. Správnost vypozorovaných vztahů potom ověříme na základě momentové věty.

Téma rozkladu sil lze doplnit ukázkou grafického řešení velikostí složek, které je popsáno v klasických učebnicích fyziky a je většinou považováno za rozšiřující učivo.

V kapitole jsou rozebírány podmínky statické rovnováhy a jejich využití při řešení příkladů.

Na začátku kapitoly je zobrazen mobil sestavený z různě těžkých krabiček zavěšených na systému špejlí. Úkolem je srovnat krabičky podle hmotnosti na základě vzdáleností jednotlivých bodů zavěšení. Řešení problému předpokládá alespoň intuitivní znalost vztahů pro statickou rovnováhu, které jsou rozebrány v dalším textu. Studenti mohou sami vyrábět (doma, nebo i ve škole) podobné (podle schopností různě složité) mobily, což má dvojí přínos. Student, který mobil vyrábí, musí zaprvé dobře porozumět příslušným vztahům a být schopen dopředu navrhnout vhodné uspořádání, aby některé krabičky nebyly příliš těžké, nebo naopak lehké a aby špejle krabičky unesly. To lze jistě ocenit například známkou za dobrovolný praktický domácí úkol. Hotový mobil pak může být ve druhé fázi předveden ostatním studentům, kteří mají za úkol seřadit krabičky podle hmotností, nebo ještě lépe určit poměry hmotností jednotlivých krabiček.

Na řešení praktických příkladů uvedených dále je konkrétně vysvětleno, jak lze využít vztahů pro statickou rovnováhu. Především v obtížnější úloze s jeřábem je třeba dobře rozmyslet, které veličiny je potřeba uvažovat při výpočtech. Studenti by se také měli zamyslet nad tím, které veličiny lze v podobných reálných případech zanedbat, a které naopak nikoli.

Applet s kladkostrojem umožňuje rychle ověřovat zadávané úlohy typu - jakou silou je třeba tahat za konec lana kladkostroje s určitým počtem kladek, uvažujeme-li hmotnost zvedaného břemene i kladek. Teoretický model kladkostroje lze také porovnat s reálným modelem sestaveným ze školních pomůcek, nebo například ze stavebnice Merkur, jak je popsáno v kapitole nižší úrovně Páka.

Závěrečný příklad s nůžkami na plech opět předpokládá zjistit na základě fotografie (nebo lépe reálných nůžek přinesených do třídy) údaje potřebné k vyřešení problému a správně rozebrat použitý pákový mechanismus.

Poslední kapitola druhé úrovně přibližuje způsob výpočtu polohy těžiště v jednoduchých jednorozměrných případech.

Úvodní pokus s rovnáním kostek lze pojmout jako soutěž skupinek - komu se podaří narovnat nejdelší převis. Applet představující model stejného problému pak pomůže ukázat optimální strategii a najít maximální možnou délku převisu. V diskuzi o rovnání kostek se pak lze dostat k otázce početního určení polohy těžiště.

Nejjednodušší příklady na výpočet polohy těžiště - hmotné body na nehmotné tyči, lze úspěšně předvádět pomocí špejle a plastelínových kuliček určité hmotnosti. Studenti si nejdříve frontálně zkusí najít těžiště takové vyrobené činky vyvážením na ostří nože, potom s nimi projdeme výpočet polohy těžiště na základě momentové věty a výsledek nakonec srovnáme s naměřenými hodnotami. Odchylky potom mohou vést k otázce vlivu hmotnosti špejle a upraveným výpočtům. Studenti mohou experimentálně zjišťovat a teoreticky ověřovat polohu těžiště různých zadaných sestav špejle a plastelínových kuliček také v rámci jednoduchého laboratorního cvičení, které není náročné na pomůcky.

Na příkladu výpočtu vodorovné vzdálenosti těžiště kostek z úvodního pokusu je ukázáno, jak dospět k obecnému vztahu pro výpočet souřadnice výsledného těžiště více těles. Studenti mohou výpočet aplikovat na podobné příklady, jako je určení vodorovné polohy těžiště zdí složených z jednotlivých cihel zobrazených v závěru kapitoly.

První kapitola nejvyšší úrovně objasňuje popis vektoru ve složkách základních typů souřadnic a výpočet násobení vektoru skalárem a sčítání vektorů ve složkách.

Kapitola může být využita k doplnění a ucelení pohledu na vektory i pro doplnění výuky příslušných pojmů v matematice. Applety obsažené v kapitole mohou sloužit k samostatnému procvičování operací s vektory - studenti nejdříve spočítají zadané příklady na papír, potom si své výsledky zkontrolují pomocí appletu a všímají si přitom geometrického významu prováděných operací a jeho souvislosti se zápisem ve složkách. Při výkladu mohou applety sloužit jako názorné modely pro předvádění vektorových operací.

Cílem kapitoly je objasnit definice vektorového a skalárního součinu ve složkách, ukázat jejich geometrickou interpretaci a možnosti využití ve fyzice.

Téma je možné využít k jasnějšímu propojení matematiky a jejího využití ve fyzice. Vektorový součin definovaný ve složkách (jak je probírán v hodinách matematiky) si tak studenti mohou porovnat s vektorovým součinem v některých fyzikálních vztazích, kde se často počítá pouze s jeho velikostí (například moment síly si většinou studenti vybaví jako součin síly a její vzdálenosti od osy otáčení, to že jde o vektor určitého směru však někdy nesprávně chápou jako něco navíc). U skalárního součinu je je pak ukázáno, že představuje vynásobení jednoho vektoru určitého směru průmětem druhého vektoru do téhož směru, což je ve fyzice často využíváno.

Poslední kapitola nejvyšší úrovně se zabývá výpočtem těžiště těles obecného tvaru a lze ji využít jako ukázku aplikace integrálního počtu ve fyzice - ať už při výuce matematiky, nebo například v seminářích z fyziky.

Úvodní pokus s deskou na prstech je rozšířením pokusu se smetákem z kapitoly Těžiště, který lze na úvod také zopakovat. Cílem pokusu s deskou je ukázat, že stejně jako se počítá poloha těžiště z momentové věty u "jednorozměrných" předmětů (jako je smeták), je možné počítat souřadnici těžiště ve dvou nezávislých směrech (deska se na prstech vyrovnává zároveň ve dvou nezávislých směrech).

Při výpočtu polohy těžiště trojúhelníkové desky je vhodné poukázat na to, jak si šikovně zvolit polohu desky vůči souřadné soustavě pro snazší výpočet. Výsledek může studentům přiblížit známé pravidlo, že těžiště dělí těžnice trojúhelníku v poměru 1 : 2, které bez integrálního počtu nedokáží odvodit.

Stejně jako u trojúhelníkové a půlkruhové desky lze s matematicky nadanými studenty počítat a experimentálně ověřovat polohu dalších podobných rovinných útvarů, složených například z trojúhelníků a částí kruhů. Studenti spočítají nejdříve polohy těžiště jednotlivých jednoduchých tvarů, z kterých je příslušná deska složená, a z těch potom (se započítáním hmotností jednotlivých částí) výsledné těžiště celé desky.

Úvod